Create a fair game You've spent months creating a basketball-playing robot, the Dunk-O-Matic, and you're excited to demonstrate it at the prestigious Sportecca conference.

フェアなゲームを作ろう あなたは何ヶ月もかけてバスケットボールをプレイするロボット、ダンク・オ・マティックを作り、権威あるスポルテッカ・カンファレンスでのデモンストレーションに胸を躍らせている。

Until you read an advertisement, see the Dunk-O-Matic face human players and automatically adjust its skill to create a fair game for every opponent.

広告を読むまでは、ダンク・オ・マティックが人間のプレーヤーと向き合い、すべての対戦相手に公平なゲームを作るために自動的にスキルを調整するのを見てください。

That's not what you were told to create.

それは、あなたが作るように言われたものではない。

You designed a robot that shoots baskets, sometimes successfully and sometimes not, taking turns with a human opponent.

あなたは、人間の対戦相手と交互にバスケットシュートを打ち、時には成功し、時には失敗するロボットを設計した。

No one said anything about teaching it to adjust its performance.

誰も、パフォーマンスを調整するために教えるとは一言も言っていない。

Maybe the CEO skimmed an article about AI and overpromised, setting you up for public embarrassment.

もしかしたら、CEOがAIに関する記事を読み飛ばし、過剰な約束をしてしまい、世間に恥をかかせてしまったのかもしれない。

Luckily, you installed a feature where, given any probability Q, you can adjust the robot to have that probability of success on each attempt.

幸運なことに、あなたは任意の確率Qが与えられた場合、各試行でその確率で成功するようにロボットを調整できる機能をインストールした。

You swiftly gather information and jackpot.

素早く情報を集め、大当たりを狙う。

Your team has a dossier on all potential demo participants, including the probability each has of making baskets.

あなたのチームは、デモに参加する可能性のある選手全員について、各選手がバスケットをする確率を含めた資料を作成している。

In each match, the human shoots first, then the robot, then the human again, and so on until someone makes the first successful basket and wins.

各試合では、まず人間がシュートを打ち、次にロボットがシュートを打ち、また人間がシュートを打ち......という具合に、誰かが最初にバスケットを成功させて勝つ。

You can remotely adjust the Dunk-O-Matic's probability between opponents.

ダンク・オ・マティックの対戦相手間の確率を遠隔操作で調整できる。

What should that probability be for each opponent so that the human has a 50% chance of winning each match?

人間が各試合で50％の確率で勝てるように、各対戦相手の確率はどうあるべきか？

Pause here if you want to figure it out for yourself.

自分で解決したければ、ここで一時停止してください。

Answer in 3 Answer in 2 Answer in 1 You might guess that Q should be equal to P, but that ignores the advantage of going first.

QはPと等しいはずだと思うかもしれないが、それは先攻の利点を無視している。

Suppose P and Q are both 100%.

PとQがともに100％だとする。

Even though the competitors are equally skilled, the first player always wins, so a deeper analysis is required.

実力は同じでも、常に先手が勝つのだから、より深い分析が必要だ。

One approach involves adding up every chance the human has to win using geometric series.

あるアプローチでは、幾何級数を使って人間が勝つ確率をすべて足し算する。

A geometric series is an infinite sum of numbers where each number is the previous number multiplied by a common ratio.

幾何級数とは、各数値が前の数値に共通の比率を掛けた数値の無限和である。

Two facts about geometric series are useful here.

ここで幾何級数に関する2つの事実が役に立つ。

First, if the common ratio R of a geometric series has absolute value less than 1, the series has a finite total.

まず、幾何級数の公比Rの絶対値が1より小さい場合、その級数は有限の総和を持つ。

And second, if the first number in the series is A, that total is A divided by 1 minus R.

そして第二に、シリーズの最初の数字がAの場合、その合計はA÷1からRを引いたものになる。

How does this help us calibrate our robot?

これがロボットのキャリブレーションにどう役立つのか？

Remember that the human has probability P of making a basket.

人間がバスケットを作る確率はPであることを忘れてはならない。

Since they go first, they have probability P of winning on the first try.

先攻なのだから、先攻が勝つ確率はPである。

What's the probability that they win on the second try?

2度目の挑戦で勝つ確率は？

That attempt only happens if both players miss.

この試みは、両選手がミスをした場合にのみ起こる。

The probability of a miss is 1 minus the probability of a success, so the miss probabilities are 1 minus P and 1 minus Q.

ミスの確率は1マイナス成功の確率なので、ミスの確率は1マイナスPと1マイナスQとなる。

The chance of both happening is the product of those values, so the probability of two failures and then a human success is P times 1 minus P times 1 minus Q.

両方が起こる確率はこれらの値の積であり、2回失敗して人間が成功する確率は、P×1マイナスP×1マイナスQとなる。

Winning on the third try requires another round of misses, so that chance is P multiplied by the double-miss probability twice.

3回目の挑戦で勝つには、もう1回ミスをする必要があるので、その確率はPにダブルミスの確率を2回掛けたものになる。

If we add all the possible probabilities of a human win, the total is the sum of a geometric series.

人間が勝つ確率をすべて足すと、幾何級数の和になる。

Since the first number in the series is P, and the ratio is this product that's less than 1, the sum will be P divided by 1 minus the ratio.

直列の最初の数はPであり、比は1より小さいこの積であるから、和はP÷1から比を引いたものになる。

We want this sum to be one-half.

この合計を2分の1にしたい。

Using some algebra to solve for Q, we find that Q should equal P divided by 1 minus P.

代数を使ってQを解くと、QはP÷1マイナスPに等しいことがわかる。

If P is greater than 50%, Q would need to be bigger than 1, which can't happen.

Pが50％より大きい場合、Qは1より大きくなければならないが、それは起こりえない。

In that case, a fair game is impossible, because the human has a better-than-50% chance of winning immediately.

その場合、フェアなゲームは不可能である。なぜなら、人間は50％以上の確率で即座に勝てるからだ。

The robot's total probability is also the total of a geometric series.

ロボットの合計確率は、幾何級数の合計でもある。

How does this series compare to the human's?

このシリーズは人間のものと比べてどうですか？

To win, the robot needs some number of double misses, then a human failure, followed by a robot success.

勝つためには、ロボットが何回かダブルミスをし、次に人間が失敗し、その後にロボットが成功する必要がある。

If Q equals P over 1 minus P, 1 minus P times Q is P.

QがPの1マイナスPに等しい場合、Qの1マイナスP倍はPとなる。

For our choice of Q, not only do these series have the same sum, but they're the same series.

Qを選んだ場合、これらの系列は同じ和を持つだけでなく、同じ系列である。

We could bypass geometric series by starting with this reasoning.

この推論から始めることで、幾何級数を回避することができる。

The robot's chances of winning in the first round is 1 minus P times Q.

ロボットが第1ラウンドで勝利する確率は、1マイナスP×Qである。

And so if we want that chance to match the human's first-round chance, we want it to equal P, making Q P over 1 minus P.

そして、その確率を人間の1ラウンド目の確率と同じにしたいのであれば、Pと等しくなるようにする。

More rounds may occur, but before each round, the competitors are tied, so everything effectively restarts.

さらにラウンドが行われることもあるが、各ラウンドの前に同点に追いつかれるため、事実上すべてがリスタートとなる。

If they have the same odds of winning in the first round, they also will in the second round, and so on.

第1ラウンドの勝率が同じなら、第2ラウンドも同じ、といった具合だ。

The demonstration goes perfectly, but while you didn't want to embarrass yourself, you also didn't want to deceive the public.

デモは完璧に行われたが、あなたは恥をかきたくなかったが、大衆を欺きたくもなかった。

Taking the stage, you explain your company's false promises and your hastily ad-libbed solution.

壇上に立ったあなたは、自社の偽りの約束と、急遽アドリブで作った解決策を説明する。

Thankfully, the ensuing bad press is directed at your employers, and it turns out the presentation volunteers own a more employee-friendly robotics company.

ありがたいことに、その後の悪評はあなたの雇い主に向けられ、プレゼンテーションのボランティアはより従業員に優しいロボット会社を所有していることが判明した。

After some tedious intellectual property litigation, you find yourself at a healthier workplace, with a regular spot on a pickup basketball team.

退屈な知的財産権訴訟の後、あなたはより健全な職場に身を置き、ピックアップ・バスケットボール・チームのレギュラーになった。

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