and what I'm curious about is the limit of f(x) as x approaches three

この際、x が３にアプローチすると、 f(x) の極限はどうなるでしょう？

and just from an inspection you can see that the function is not defined when x is equal to three - you get zero over zero: it's not defined

一見すると、x＝３では、これは、０／０で、定義できません。

So to answer this question let's try to re-write the same exact function definition slightly differently

この問題を書き換えて、極限を見つけましょう。

So let's say f(x) is going to be equal to - and I'm going to think of two cases:

f（x）は２つのケースに分けて、

I'm going to think of the case when x is greater than three

X が 3 より大きい場合と、

and when x is less than three

x が 3 より小さい場合で、

So when x is - I'll do this in two different colors actually

異なる色でやって見ましょう。

When x - I'll do it in green - that's not green

それでは、

When x is greater than three...

X が 3 より大きいとき.

When x is greater than three, what does this function simplify to?

この関数に単純化するとどうなりますか？

Well, whatever I get up here, I'm just taking the..

さて、ここで何をするかというと

I'm going to get a positive value up here and then I'm...

ここには正の値を得ます。

Well, if I take the absolute value it's going to be the exact same thing, so let me...

その絶対値を取る場合、同じ数です。

For x is greater than three, this is going to be the exact same thing as x minus three over x minus three

X が 3 より大きい場合は、x−３／x−３ と同じ物で

because if x is greater than three, the numerator's going to be positive, you take the absolute value of that, you're not going to change its value

x が 3 より大きい場合、分子が正になり、その絶対値と取ると、それも正数で

so you get this right over here or, if we were to re-write it...

これを書き換えると、

...if we were to re-write it, this is equal to, for x is greater than three, you're going to have f(x) is equal to one

x が 3 より大きい場合は、f(x) が 1 に等しいです。

for x is greater than three

x が 3 より大きいと、f（x）は１です。

Similarly, let's think about what happens when x is less than three

同様に、x が 3 より小さい場合について考えてみましょう。

When x is less than three, well, x minus three is going to be a negative number

xが３より 小さいと、負数になります。

When you take the absolute value of that, you're essentially negating it

その絶対値を取るとき、

so it's going to be the negative of x minus three over x minus three

ー（x−３）です。

or if you were to simplify these two things, for any value as long as x doesn't equal three

これらの 2 つの項を簡単にした場合、xが０でない限り、

this part right over her simplifies to one, so you are left with a negative one

これは、−１です。

negative one for x is less than three

x が 3 より小さい場合は、−１です。

I encourage you, if you don't believe what I just said, try it out with some numbers

実際に幾つかの

Try out some numbers:

数字を試してみてください。

3.1, 3.001, 3.5, 4, 7

3.1、3.001、3.5、4、7

Any number greater than three, you're going to get one

任意の数の 3 より大きい数では、1 を得るはずです。

You're going to get the same thing divided by the same thing

ある項を同じ項で割っているから、１です。

and try values for x less than three:

では、３以下の数を試してください。

you're going to get negative one no matter what you try

どの数でも、−１を得るはずです。

So let's visualise this function now

この関数を視覚化します。

So, now you draw some axes...

軸を描きます。

That's my x- axis

これは、 x 軸です。

and then this is my...

これは、

This is my f(x) axis - y is equal to f(x)

これは f (x) 軸で、 - y は f (x) に等しい

and what we care about is x is equal to three

そして、xが３の場合はどうなるでしょう。

so x is equal to one, two, three, four, five

x は 1、2、3、4、5 と、

and we could keep going...

そして、ずっと、続けることができます。

and let's say this is positive one, two, so that's y is equal to one

これが、＋１、２と y が 1 に等しいです。

this is y is equal to negative one and negative two

これは、y がー1 、−２、

and we can keep going...

そして、ずっと、続けることができます.

So this way that we have re-written the function

関数を書かれて

is the exact same function as this

これと同じ関数です。

we've just written [it] in a different way

これは、別の方法で書いています。

and so what we're saying is...

ここで、

is we're...

言っていることは

Our function is undefined at three

この関数は 3 で定義されません。

but if our x is greater than three, our function is equal to one

xが３より大きいときは、この関数は 1 に等しいです。

so if our x is greater than three, our function is equal to one

x が 3 より大きい場合、

so it looks like...

このようにを見えます。

It looks like that, and it's undefined at three

３では、定義されず、

and if x is less than three our function is equal to negative one

x が 3 より小さい場合は、この関数はー 1 に等しいです。

so it looks like - I'll be doing that same color

同じ色で描きます。

It looks like this...

それはこれのように見えます.

It looks like...

それに似ています.

Looks like this...

これのように見えます。

Once again, it's undefined at three

もう一度、3 で未定義で、

So it looks like that

だから、このように見えます。

So now let's try to answer our question:

では、質問に答えましょう。

What is the limit as x approaches three?

xが 3 にアプローチすると、極限は？

Well, let's think about the limit as x approaches three

x が3 にアプローチした際の極限は、

from the negative direction, from values less than three

負数からアプローチすると、

So let's think about first the limit...

それでは限界最初にについて考える.

...the limit, as x approaches three...

極限は

...as x approaches three, the limit of f(x)...

f(x) の極限は、

...as x approaches three from the negative direction

負からのアプローチで

and all this notation here - I wrote this negative as a superscript right after the three - says

ここの負を書きましょう。

Let's think about the limit as we're approaching...

その解きの極限は

...let me make this clear...

はっきりすると、

Let's think about the limit as we're approaching from the left

左から近づいている極限です。

So in this case, if we get closer...

だからこの場合は、

If we get...

３より小さい数では、

If we start with values lower than three

こちらから、

as we get closer and closer and closer...

近づくと、.

So, say we start at zero, f(x) is equal to negative one

f(x) がー 1 に等しいです。

We go to one, f(x) is equal to negative one

1 に行くと、f(x) が−１で、

We go to two, f(x) is equal to negative one

2 に行くと、f(x) が−１で、

If you go to 2.999999, f(x) is equal to negative one

2.999999 に行くと、f（x）は−１です。

So it looks like it is approaching negative one if you approach..

だから、−１に近づいているように見えます。

...if you approach from the left-hand side

左側の側からアプローチする場合は−１です。

Now let's think about the limit...

では、極限、

...the limit of f(x)...

f（x）の極限が、

...the limit of f(x) as x approaches three from the positive direction, from values greater than three

正の方向から近づく際は、

So here we see, when x is equal to five, f(x) is equal to one

x が 5 に等しいと、f(x) が 1 に等しいです。

When x is equal to four, f(x) is equal to one

x が 4 と等しいと、f（x）は１です。

When x is equal to 3.0000001, f(x) is equal to one

x が 3.0000001 に等しい場合、 f(x) は 1 に等しい です。

So it seems to be approaching...

だから、正から近づく場合は、

It seems to be approaching positive one

これは、１に近づく様です。

So now we have something strange

奇妙なことに気がつきます。

We seem to be approaching a different value when we approach from the left

左からに近付く時と

than when we approach from the right

右から近付く時は、別の値です。

and if we are approaching two different values then the limit does not exist

2 つの異なる値に近づく場合、極限が存在しません。

So this limit right over here does not exist

だから、ここでは極限は存在しません。

or another way of saying it:

言い換えれば、

The limit...

極限

...the limit of...

極限

(Let me write this in a new color - I have a little idea here)

新しい色でこれを書いてみましょう。

...the limit of a function f(x) as x approaches some value c is equal to L if and only if...

関数 f(x) の極限は、ある数cに近づく際、Lです。

...if and only if the limit of f(x) as x approaches c from the negative direction is equal to the limit

これは、関数 f(x) が負からある数cに近づく際、Lに近づき、

of f(x) as x approaches c from the positive direction which is equal to L

関数 f(x) が正からある数cに近づく際、Lに近づく場合です。

This did not happen here -

ここでは、これが起こりませんでした。

the limit when we approached the left was negative one,

左から近づいた極限は−１で、

the limit when we approached from the right was positive one,

右から近づいた極限は１でした。

So we did not get the same limits when we approached from either side

だから、この場合は

So the limit does not exist in this case

極限は存在しません。