with the idea of a limit, which is a super important idea.

実際、この考えは、全ての微積分の基礎となっています。

It's really the idea that all of calculus is based upon.

ですが、その重要性とは裏腹に、実際はとてもとても単純な考えなのです。

But despite being so super important,

では、関数を描かせてください。実際は関数を定義させてください。

it's actually a really, really, really, really, really, really

やや単純な関数です。関数 f(x) = (x-1) / (x-1)

simple idea.

きみはこう言うかもしれません。「サルさん、分母と分子が同じだよ。

So let me draw a function here, actually,

なにかの数を、その数で割ってたら、それはイコール1になるよ。単に、f(x) = 1に出来ないの？」

let me define a function here, a kind of a simple function.

私はこう答えるでしょう。うむ、きみはほとんど正しい。だけど、f(x) = 1と、この関数の違いは、

So let's define f of x, let's say that f of x

これは、x = 1だったときに、未定義になるのです。なので、ちょっと描かせてください。なので、

is going to be x minus 1 over x minus 1.

f(1)だったら、何が起きるかな？　分子は、 (1-1)を得るので、それは、ちょっと描かせてくださいね。

And you might say, hey, Sal look,

分子は、0になるね。さらに、分母が(1-1)だと、こちらも0になります。

I have the same thing in the numerator and denominator.

そして0を0で割ると、これは未定義になります。なので、これを単純化させて、f(x) = 1に出来るけど、

If I have something divided by itself,

それだと、x はイコール1には出来ないという制約も必要になります。

that would just be equal to 1.

これで、これとこっちは同値になります。両方とも1以外の値ならば、イコール1になるでしょう。

Can't I just simplify this to f of x equals 1?

ただ、x = 1のときは未定義になります。こちらも未定義で、こちらも未定義。では、この関数をどうグラフにするでしょうか？

And I would say, well, you're almost true,

グラフを描かせてください。これは、わがy = f(x)軸で、こっちは、わがx軸です。

the difference between f of x equals 1

そして、ここが x = 1の点で、ここはx = -1、こっちは y = 1 で、こっちだと　-1も描けるけど、

and this thing right over here, is that this thing can never

この関数とは特に関連しないです。では、グラフを描かせてください。

equal-- this thing is undefined when x is equal to 1.

この関数は本質的に、このグラフは1以外のあらゆる値は、f(x) = 1なので、こんな風になるでしょう。1は例外にして。

Because if you set, let me define it.

1だとf(x)は未定義になりますので、ここを開けて小さな丸を描きます。これは未定義を意味します。

Let me write it over here, if you have f of,

私たちは1だったときの関数は知りません。定義していないのです。

sorry not f of 0, if you have f of 1, what happens.

この関数は、1だったときを語っていません。なので、文字通り、x=1は、未定義なのです。

In the numerator, we get 1 minus 1,

これが関数のグラフです。再び、誰かが f(1) だと何と尋ねたら、

which is, let me just write it down, in the numerator,

きみはこう答えるでしょう。「ここが関数定義だ。x = 1 だったら...おっ、待ってくれ。我が関数のここに穴がある。

you get 0.

これは未定義だ」と。では、また描かせてください。これはちょっと重複するけど、再び描かせてくださいね。

And in the denominator, you get 1 minus 1, which is also 0.

f(1) は、未定義です。ですが、もし関数が x = 1 に近づいている数だったらどうでしょうか？

And so anything divided by 0, including 0 divided by 0,

そして今、これが極限の考えに触れようとしています。なので、xは1に近づいて近づいて...

this is undefined.

関数が近づいていったらどうでしょうか？　この時間全体に、近づいて近づいていったら？

So you can make the simplification.

左側からでは、1にどれだけ近づいていっても、1、f(x) = 1にはなりません。

You can say that this is you the same thing as f of x is equal

右側からでも同じです。きみはこう言うでしょう。

to 1, but you would have to add the constraint that x cannot be

もっと例を出せば、きみもこの考えに馴染むでしょう。

equal to 1.

limは、極限limitの短縮です。xが1に近づいていたら、f(x)はイコール、

Now this and this are equivalent,

これは、1に信じがたいほど、無限に近づいていくけど、決して1にはならないのを意味します。

both of these are going to be equal to 1

そして、私たちの関数はイコール1になります。これは、1にどんどん近づいています。

for all other X's other than one, but at x equals 1,

これは実際には、時間全体で1になります。なので、この場合、f(x)の1に近づいている極限は、1だと言えるのです。

it becomes undefined.

再び言いますが、これはとても奇妙な記法ですが、語っているのは単に、「見て、xが1に近づいていったら、

This is undefined and this one's undefined.

関数は何になっていくの？」

So how would I graph this function.

では、次はカーブの例をやりましょう。ここで基本の考えを得たように。

So let me graph it.

関数f(x)があるとします。ですが、多様のために、こちらはg(x)と呼ばせてください。

So that, is my y is equal to f of x axis,

g(x)は、イコール、ここでこのように定義できます。これは、xが2で無いなら、x^2と定義できます。

y is equal to f of x axis, and then this over here

ですが、x = 2だったときは、1になります。再び、これは面白い関数です。

is my x-axis.

見てのとおり、これは連続的ではなく、不連続です。ではグラフを描きましょう。

And then let's say this is the point x is equal to 1.

ここが、わが y=f(x)軸で、こっちはわが x軸。ここが、x=1で、こっちがx=2。

This over here would be x is equal to negative 1.

ここが -1で、ここが -2。つまり、x=2以外のすべてで、これはイコールx^2です。なので、そう描きましょう。

This is y is equal to 1, right up there I could do negative 1.

これはパラボラ型になります。こんな風に...こんな見た目で...

but that matter much relative to this function right over here.

まだマシな風にパラボラを描かせてください。こんな感じに。

And let me graph it.

これは歴史上もっとも綺麗に描けたパラボラではありませんが、これでパラボラのように見えると期待します。

So it's essentially for any x other than 1 f

これは対称になります。再び、描き直します。これは見た目が悪いです。

of x is going to be equal to 1.

こっちの方がいいですね。OK。よし。これでいこう。

So it's going to be, look like this.

これは、x^2のグラフですが、x = 2のときは、x^2になりません。なので再び、

It's going to look like this, except at 1.

x = 2のときは、少しだけ不連続にする必要があります。なので、ここに穴を開けます。

At 1 f of x is undefined.

なぜなら、x=2のときは、関数はイコール1だからです。

So I'm going to put a little bit of a gap right

同じスケールでは行いません。f(x) = x^2グラフでは、これは4になりますが、ここは2です。

over here, the circle to signify that this function is not

ここは1で、ここは3でしょう。なので、x=2だったら、この関数はイコール1になります。

defined.

これは少し変な関数ですが、きみはこのような関数も定義できます。きみは好きなどんな関数も定義できるのですよ。

We don't know what this function equals at 1.

注目。これは、xが2以外のときのf(x) = x^2のグラフです。

We never defined it.

2のときは穴があります。なぜなら、"g(x)=x^2"は使えず、"g(x) = 1"の方を使うからです。

This definition of the function doesn't tell us

この関数で、間違ってf(x)と言っていたら、それは謝ります。実際はg(x)のことです。

what to do with 1.

g(x)=1を使っていたら、それは正確に2で、1へと落ちます。そして、この関数はx^2を続けます。

It's literally undefined, literally undefined

ここでいくつかの問題があります。もし、g(2)を評価すると、

when x is equal to 1.

こっちの定義を見て、OK、x=2のときは、こっちの方を使う。

So this is the function right over here.

そして、これは=1と告げている。では、もう少し面白い質問をさせてください。

And so once again, if someone were to ask you what is f of 1,

g(x)の2に近づいていく極限は何でしょう？　再び、奇妙な記法ですが、

you go, and let's say that even though this was a function

これはとてもとても単純なことを尋ねているのです。これは、xが2にどんどん近づいていけば、

definition, you'd go, OK x is equal to 1,

どんどん近づいた値を得る。そしてこれは、後の動画で見ますが、厳格な定義ではありません。

oh wait there's a gap in my function over here.

xが2に近づけば近づくほど、g(x)の値はどうなるでしょうか？　たとえば、1.9だったら、1.999なら、1.999999なら、

It is undefined.

1.99999999なら、g(x)はどうなるでしょうか？　もし、正の方向から進むならば、

So let me write it again.

たとえば2.1だったら、g(2.1)はどうなるでしょうか？　g(2.01)なら？　g(2.001)なら？

It's kind of redundant, but I'll rewrite it f of 1 is undefined.

2に近づけば近づくほど、値はどうなるでしょうか？

But what if I were to ask you, what

グラフを描くことで、視覚的に見ることができます。gが2に近づけば近づくほど、

is the function approaching as x equals 1.

グラフに従うならば、4の値に向かっていきます。

And now this is starting to touch on the idea of a limit.

たとえ、関数がそちらになくてもです。関数が1に落ちたとしても、xが2に近づくg(x)の極限は

So as x gets closer and closer to 1.

イコール4になります。きみは、電卓を使って調べることも出来るのですよ。

So as we get closer and closer x is

私にやらせてください。これは面白いと思うからです。なので電卓を使って、

to 1, what is the function approaching.

わが親愛なるTI-85で、これが私の電卓です。

Well, this entire time, the function,

では、x=2に近づいていったら、どうなるでしょうか？　1.9だったら、x=1.9だと、

what's a getting closer and closer to.

ここの上の節を使うので、1.9 ^ 2となり、答えの3.61を得るでしょう。

On the left hand side, no matter how close

さらに2に近づいたらどうでしょうか？　1.99だったら、再び二乗したら、

you get to 1, as long as you're not at 1,

答えは3.96でした。では、1.999を二乗したら？

you're actually at f of x is equal to 1.

3.996の答えを得ました。我々の点に近づいて近づいていることに注意。

Over here from the right hand side, you get the same thing.

ではとても近い、1.999999999999 ^2だと？

So you could say, and we'll get more and more

正確に4でした。この電卓は小数点を丸めています。なぜなら、実際に得た値はとてもとてもとても4に近いからです。

familiar with this idea as we do more examples,

そして、私たちはこれを正の方向からも行えます。

that the limit as x and L-I-M, short for limit,

そして、それは下からやった時と同じになるでしょう。

as x approaches 1 of f of x is equal to, as we get closer,

なので、 2.1 ^ 2をしたら、4.4の答えを得られます。

we can get unbelievably, we can get infinitely close to 1,

では、少し先に進みましょう。

as long as we're not at 1.

2.0001の二乗だと、これは2にとても近いですね。4にとても近くなりました。

And our function is going to be equal to 1,

つまり、2に近い値であるほど、4の答えに近くなるのがわかります。

it's getting closer and closer and closer to 1.

本題に戻ると、この数値的方法では、g(x)の両方から2に近づいてったら、

It's actually at 1 the entire time.

たとえ、正確に2だったら、非継続なので関数はイコール1だったとしても、

So in this case, we could say the limit

2に近づく極限では、4にどんどん近づいていくのです。

as x approaches 1 of f of x is 1.

So once again, it has very fancy notation, but it's just saying,

look what is a function approaching

as x gets closer and closer to 1.

Let me do another example where we're dealing with a curve,

just so that you have the general idea.

So let's say that I have the function

f of x, let me just for the sake of variety,

let me call it g of x.

Let's say that we have g of x is equal to,

I could define it this way, we could define it as x squared,

when x does not equal, I don't know when x does not equal 2.

And let's say that when x equals 2 it is equal to 1.

So once again, a kind of an interesting

function that, as you'll see, is not fully continuous,

it has a discontinuity.

Let me graph it.

So this is my y equals f of x axis,

this is my x-axis right over here.

Let me draw x equals 2, x, let's say this is x equals 1,

this is x equals 2, this is negative 1, this is negative 2.

And then let me draw, so everywhere except x equals 2,

it's equal to x squared.

So let me draw it like this.

So it's going to be a parabola, looks something like this,

let me draw a better version of the parabola.

So it'll look something like this.

Not the most beautifully drawn parabola

in the history of drawing parabolas,

but I think it'll give you the idea.

I think you know what a parabola looks like, hopefully.

It should be symmetric, let me redraw it

because that's kind of ugly.

And that's looking better.

OK, all right, there you go.

All right, now, this would be the graph of just x squared.

But this can't be.

It's not x squared when x is equal to 2.

So once again, when x is equal to 2,

we should have a little bit of a discontinuity here.

So I'll draw a gap right over there, because when x equals 2

the function is equal to 1.

When x is equal to 2, so let's say that,

and I'm not doing them on the same scale, but let's say that.

So this, on the graph of f of x is equal to x squared,

this would be 4, this would be 2, this would be 1,

this would be 3.

So when x is equal to 2, our function is equal to 1.

So this is a bit of a bizarre function,

but we can define it this way.

You can define a function however you like to define it.

And so notice, it's just like the graph of f

of x is equal to x squared, except when you get to 2,

it has this gap, because you don't

use the f of x is equal to x squared when x is equal to 2.

You use f of x-- or I should say g

of x-- you use g of x is equal to 1.

Have I been saying f of x?

I apologize for that.

You use g of x is equal to 1.

So then then at 2, just at 2, just exactly at 2,

it drops down to 1.

And then it keeps going along the function

g of x is equal to, or I should say, along the function

x squared.

So my question to you.

So there's a couple of things, if I

were to just evaluate the function g of 2.

Well, you'd look at this definition,

OK, when x equals 2, I use this situation right over here.

And it tells me, it's going to be equal to 1.

Let me ask a more interesting question.

Or perhaps a more interesting question.

What is the limit as x approaches 2 of g of x.

Once again, fancy notation, but it's asking something

pretty, pretty, pretty simple.

It's saying as x gets closer and closer to 2, as you get closer

and closer, and this isn't a rigorous definition,

we'll do that in future videos.

As x gets closer and closer to 2, what is g of x approaching?

So if you get to 1.9, and then 1.999, and then 1.999999,

and then 1.9999999, what is g of x approaching.

Or if you were to go from the positive direction.

If you were to say 2.1, what's g of 2.1,

what's g of 2.01, what's g of 2.001, what is that approaching

as we get closer and closer to it.

And you can see it visually just by drawing the graph.

As g gets closer and closer to 2,

and if we were to follow along the graph,

we see that we are approaching 4.

Even though that's not where the function is,

the function drops down to 1.

The limit of g of x as x approaches 2 is equal to 4.

And you could even do this numerically using a calculator,

and let me do that, because I think that will be interesting.

So let me get the calculator out,

let me get my trusty TI-85 out.

So here is my calculator, and you could numerically

say, OK, what's it going to approach

as you approach x equals 2.

So let's try 1.94, for x is equal to 1.9,

you would use this top clause right over here.

So you'd have 1.9 squared.

And so you get 3.61, well what if you get even closer to 2,

so 1.99, and once again, let me square that.

Well now I'm at 3.96.

What if I do 1.999, and I square that?

I'm going to have 3.996.

Notice I'm going closer, and closer,

and closer to our point.

And if I did, if I got really close,

1.9999999999 squared, what am I going to get to.

It's not actually going to be exactly 4,

this calculator just rounded things up,

but going to get to a number really, really, really, really,

really, really, really, really, really close to 4.

And we can do something from the positive direction too.

And it actually has to be the same number

when we approach from the below what we're trying to approach,

and above what we're trying to approach.

So if we try to 2.1 squared, we get 4.4.

If we do 2.

let me go a couple of steps ahead,

2.01, so this is much closer to 2 now, squared.

Now we are getting much closer to 4.

So the closer we get to 2, the closer

it seems like we're getting to 4.

So once again, that's a numeric way

of saying that the limit, as x approaches 2

from either direction of g of x, even though right at 2,

the function is equal to 1, because it's discontinuous.

The limit as we're approaching 2,

we're getting closer, and closer, and closer to 4.