Name: 数学と物理学の違い - 数字好き (Math vs Physics - Numberphile)
Uploaded: 2022-02-15T08:02:16.000Z
Duration: 13 min 53 s

様態の副詞

Quantum theory, the world of the smallest particles, is actually influencing mathematics, and

最小の粒子の世界である量子論は、実は数学にも影響を与えていて

程度の副詞

I would even say that the future is for quantum mathematicians.

これからは、量子数学者の時代だと言ってもいいでしょう。

基礎受動態

Mathematics is also what mathematicians do, and we do this with our brain, and so how is our brain created?

数学も、数学者がやることであり、それを脳で行うわけですが、では、脳はどのようにして作られるのでしょうか。

Well, many many million years of evolution. And so I think our concepts

何百万年もかけて進化してきたのです。だからこそ、私たちの概念は

are very much influenced by the things to see around us.

は、身の回りにあるものに大きく影響されます。

So we talk about space because we kind of move in space,

私たちは空間の中で動いているので、空間について話します。

We move in time. We count because we see objects. We throw stones,

私たちは時間の中で動いています。私たちは物を見て数を数えます。私たちは石を投げます。

we want to describe the path of a stone and its velocity.

私たちは、石の軌道とその速度を記述したいと思います。

And so calculus, for instance, is based on the idea of speed or slope.

そして、例えば微積分は、速度や傾きの考えに基づいています。

So I think actually our mind is very much kind of set by everyday experience.

ですから、私たちの心は、日常の経験によって形成されているのだと思います。

So you might think that mathematics kind of stops being effective if we move into a new territory.

そのため、新しい領域に入ると数学の効果がなくなると思われるかもしれません。

For instance, the very large, the universe, or the very small, the world of elementary particles.

例えば、非常に大きなものでは宇宙、非常に小さなものでは素粒子の世界です。

But a remarkable thing: this hasn't happened. So mathematics has been

しかし、驚くべきことに、これは起こっていません。つまり、数学は

extremely successful in conquering, certainly I think, the physical experience.

肉体的な経験を征服することに非常に成功したと思います。

アインシュタインの理論が良い例です。

He needed a concept of curved space. And it turns out that Riemann and others,

湾曲した空間の概念が必要だったのです。そして、リーマンらが判明しました。

in the 19th century, had already thought about it. They thought, you have two dimensions, three dimensions,

19世紀には、すでに考えられていたことです。彼らは、2次元と3次元があると考えていました。

why not have an arbitrary number of dimensions?

任意の数の次元を持つことができます。

Abstract thinking of mathematicians was kind of ahead. In quantum theory,

数学者の抽象的な思考は、ある意味では先行していました。量子論では

you know, even if you sit and meditate for a million years you wouldn't come up with the laws of quantum

100万年座って瞑想しても、量子力学の法則を思いつくことはできないでしょう。

mechanics because it's so bizarre. So in that sense nature had to force that upon us,

メカニックはとても奇抜なものだからです。そういう意味では、自然がそれを押し付けてきたとも言えます。

and it was like a very painful process. We had to let go of many very cherished concepts.

それは、とても苦しいプロセスのようでした。多くの大切なコンセプトを手放さなければなりませんでした。

For instance, the fact that the world is a predictable system. Quantum mechanics is just the way nature works.

例えば、世界は予測可能なシステムであるという事実。量子力学は自然の仕組みに過ぎません。

You see it very clearly at the level of atoms and elementary particles,

それは、原子や素粒子のレベルでよくわかります。

and if you take many many atoms together, then in some sense many of the features of quantum mechanics

また、多くの原子を集めれば、ある意味では量子力学の特徴の多くが

are kind of washed away. We don't observe it because we are made out of like 10 to the 24 molecules typically.

は洗い流されてしまいます。私たちは10個から24個の分子で構成されているので、それを観察することはできません。

There are several things that you have to give up in quantum mechanics. The first is that you cannot know the answer to all questions.

量子力学には、諦めなければならないことがいくつかあります。1つ目は、すべての問題の答えを知ることはできないということです。

So, for instance, typically, I would say, well, this is pen, I know where it is, and if I drop it,

ですから、例えば、一般的には、「これはペンだから、どこにあるかわかるし、もし落としても大丈夫だ。

I know what the velocity is; that it's moving. Quantum mechanics says that's all fine,

私は速度を知っている、つまり動いているということだ。量子力学ではそれは問題ないとされています。

you can know either the position or the velocity, so roughly half the questions are unanswerable.

は、位置と速度のどちらも知ることができるので、約半分の質問は答えられません。

That's really bizarre, because how would I then describe a pen?

それはとても奇妙なことです。なぜならば、私はペンをどのように表現するのでしょうか？

But there's a second thing, which is that even if you want to describe

しかし、2つ目の問題があります。それは、たとえあなたが説明したいと思っていても

how things move, they never have a specific answer. So, like if you are a

物事がどのように動くのか、具体的な答えはありません。だから、例えば、あなたが

classical object like a pen, now you would say "How do I go from A to B?"

ペンのような古典的な物体を、今度は「AからBに行くにはどうしたらいいか？」と言うのです。

Well there will be a shortest path. If I throw a stone it will go like this from A to B.

さて、最短の道はあるでしょう。私が石を投げれば AからBまでこのようになります。

そして、それがどのように行われたかを正確に知ることができます。

and this is like the optimal path, and I can calculate this, and mathematics is about this. Now, if you're a

とか、これは最適な道筋のようなもので、これは計算できる、数学とはこういうものだ、とか。さて、もしあなたが

quantum mechanical particle, you are basically free to go on any possible

量子力学的な粒子であれば、基本的にどのような可能性にも自由に進むことができます。

path, so you know, and you could even have really very bizarre paths that goes all the way like that.

このように、非常に奇妙な経路を辿ることもできます。

And the thing that physics will do, it will give a certain probability for all these

そして、物理学が行うことは、これらのすべてのものに一定の確率を与えることです。

possible scenarios. If I for instance want to go from my work to home

可能なシナリオです。例えば、仕事場から家まで行きたいとしたら

I know pretty good what the path is I'm taking,

自分の進むべき道はよくわかっている。

but if I'm an electron that's moving, say, from one atom to another atom,

しかし、もし私が電子で、ある原子から別の原子へと移動しているとします。

it's more like these, these curves, so everything is in terms of chance.

というよりも、このような曲線になっていて、すべてが偶然の産物なのです。

The quantum probability is something, it's like an, it's a complex number, and if you take the absolute value squared,

量子確率は何かというと、それは複素数のようなもので、絶対値を2乗すると

So for instance, one thing that, because of these kind of funny things, what can happen is that

例えば、このようなおかしなことがあると、次のようなことが起こり得ます。

instead, you know, even if you think about where a particle is,

ではなく、粒子がどこにあるかを考えても

now it could be either here, or it could be here, and you might say, well there's a certain probability

ここにもあるかもしれないし、ここにもあるかもしれないし、一定の確率で

の場合はA、Bの場合は確率的にBとなります。

But a quantum mechanical particle can be for half be here and half be there, at the same time.

しかし、量子力学的な粒子は、半分はここに、半分はあそこに、同時に存在することができます。

これはとても不思議なことです。

It's like you take a point, and you divide it in two fractions of a point, put one here and put one there.

一点をとって、ここに一点、ここに一点というように、端数を二つに分けるようなものです。

And so the rules of quantum mechanics are partly captured probability,

そして、量子力学のルールは、確率を捉えた部分があるわけです。

but they have some kind of very strange phenomena built in them, and it's ... you have to kind of dig deep and basically things

しかし、それらには非常に奇妙な現象が組み込まれていて、それは......ある種、深く掘り下げて、基本的に物事を考えなければなりません。

happening, you know, all at the same time

makes quantum mechanics very difficult to absorb.

は、量子力学を吸収することを非常に難しくしています。

It's been said, you know, if you say you understand quantum mechanics that you're just lying, because this is

量子力学を理解していると言っても、それは嘘だと言われていますが、これは

something that in our intuition we simply cannot understand.

私たちの直感では理解できないもの。

Physicists were thinking about, well, we need some objects, for instance, to describe the transitions in the atom,

物理学者たちは、例えば、原子の遷移を記述するためのオブジェクトが必要だと考えていました。

how we go from one state to another state,

1つの州から別の州へと移動する方法。

so well, we need something, and then they discovered it's called a matrix, and it's actually known, of course, in the mathematical literature.

そこで、何かが必要だと考えた彼らは、行列と呼ばれるものを発見したのですが、これはもちろん数学の文献で知られています。

concepts that came in, like Hilbert spaces and wave functions, that was mathematics that partly was being developed at that time,

ヒルベルト空間や波動関数などの概念が入ってきて、当時一部で開発されていた数学でした。

but I would say then the physicists really ran off with it,

しかし、この時は物理学者たちが大暴れしたと言えるでしょう。

and at this point, I would say mathematicians are

を理解している、ということです。

not only the language, but also the power of the concept. Because there's something incredibly

言葉だけでなく、コンセプトの力も大きい。なぜなら、何か信じられないような

natural in quantum theory which is perfect for the mathematical mind.

量子論では、数学者の心にぴったりの自然なものです。

Because mathematicians, they're not studying one object.

なぜなら、数学者は1つの物体を研究しているわけではないからです。

They actually really always think about the whole family; the category, all possible objects. So, all numbers at the same time, or all possible

彼らは実際には常にファミリー全体、つまりカテゴリー、すべての可能なオブジェクトについて考えています。つまり、すべての数字を同時に考えたり、すべての可能な

geometrical shapes. And what quantum mechanics says is, that's like perfect, because I'm not considering one path,

幾何学的な形をしています。量子力学では、「完璧だ」と言っています。なぜなら、1つの経路を考えているわけではないからです。

I'm considering the space of all paths. And in fact, I'm giving you something else. I'm giving you a way,

すべての道の空間を考えています。そして実際には、私はあなたに他のものを与えています。私はあなたに道を与えているのです。

indeed, a probability of each possible path,

確かに、各可能なパスの確率を

so in some way, you can sum all over these different paths. We call this the sum over histories

ということで、何らかの方法で、これらの異なるパスの総和をとることができます。これを「ヒストリーの総和」と呼びます

again, very funny concept, because we think of history as something, well,

私たちは歴史を何かのように考えているので、とても面白いコンセプトです。

certain things, certain facts that happens. For the quantum mechanical mathematician,

あること、ある事実が起こる。量子力学の数学者にとって

history is all possible scenarios at the same time. And so there's a certain way to

歴史は、すべての可能なシナリオが同時に存在します。だからこそ、ある方法で

consider many different things at the same time. And so one

いろいろなことを同時に考える。そうして一つの

wonderful application on all of this was in, in knot theory. So if you have a knot, like this,

これらを見事に応用したのが、結び目の理論でした。このような結び目があれば

connected like this, so it's a ... it's a... I'm just

このように接続されているので、それは...それは...です。私はただ

drawing here the projection, but there's a certain trajectory in three dimensions, and, you know,

ここに描かれているのはプロジェクションですが、3次元ではある種の軌跡を描いていますしね。

mathematicians want to distinguish. This one is knotted, this one is not. And so, if you're a knot

数学者は区別したがる。これは結び目がある、これはない。それで、もしあなたが結び目の

theorist, you want to study knots in generality; the space of all possible knots. Actually

理論家としては、結び目を一般的に研究したいのです。実際に

It's a very efficient way to describe these knots. And young physicists are not that surprised anymore as

この結び目を表現するには、とても効率的な方法なのです。そして、若い物理学者たちは、もうそれほど驚くこともなく

Albert Einstein was, who were really fighting the concept. I often think, you know, at some point there will be a generation of mathematicians

アルバート・アインシュタインは、この概念と本当に戦っていました。私はよく思うのですが、ある時点で、数学者の世代が

that kind of grow, grow up with quantum theory, and they will probably apply these kinds of rules in a very natural way.

そのような人たちは、量子論とともに成長し、ごく自然な形でこの種のルールを適用することになるでしょう。

Brady: "They are starting to steal your stuff, arent they?"

Brady: "彼らはあなたのものを盗み始めているのではないか？"

Exactly. So, the remarkable thing is that there are some very deep

その通りです。そこで注目したいのは、非常に深い

mathematical problems; abstract mathematical problems, like this classification of all knots,

数学的な問題、抽象的な数学的な問題、例えばこの全ての結び目の分類など。

or thinking of four- or six-dimensional spaces, really purely interested from mathematical arguments,

とか、4次元や6次元の空間を考えるとか、本当に純粋に数学的な議論から興味を持っていました。

and now there is a bunch of these problems that actually have been solved using quantum theory. I think of it like a good mathematician

そして今、量子論を使って実際に解決されたこれらの問題の数々があります。私は優秀な数学者のように考えています

has a toolbox that's filled with everything: geometry,

のツールボックスには、ジオメトリというあらゆるものが入っています。

and, you know, the rules of modern physics should be there.

と、現代物理学のルールがあるはずなんです。

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physical

basically

crisis