I would even say that the future is for quantum mathematicians.

これからは、量子数学者の時代だと言ってもいいでしょう。

Mathematics is also what mathematicians do, and we do this with our brain, and so how is our brain created?

数学も、数学者がやることであり、それを脳で行うわけですが、では、脳はどのようにして作られるのでしょうか。

Well, many many million years of evolution. And so I think our concepts

何百万年もかけて進化してきたのです。だからこそ、私たちの概念は

are very much influenced by the things to see around us.

は、身の回りにあるものに大きく影響されます。

So we talk about space because we kind of move in space,

私たちは空間の中で動いているので、空間について話します。

We move in time. We count because we see objects. We throw stones,

私たちは時間の中で動いています。私たちは物を見て数を数えます。私たちは石を投げます。

we want to describe the path of a stone and its velocity.

私たちは、石の軌道とその速度を記述したいと思います。

And so calculus, for instance, is based on the idea of speed or slope.

そして、例えば微積分は、速度や傾きの考えに基づいています。

So I think actually our mind is very much kind of set by everyday experience.

ですから、私たちの心は、日常の経験によって形成されているのだと思います。

So you might think that mathematics kind of stops being effective if we move into a new territory.

そのため、新しい領域に入ると数学の効果がなくなると思われるかもしれません。

For instance, the very large, the universe, or the very small, the world of elementary particles.

例えば、非常に大きなものでは宇宙、非常に小さなものでは素粒子の世界です。

But a remarkable thing: this hasn't happened. So mathematics has been

しかし、驚くべきことに、これは起こっていません。つまり、数学は

extremely successful in conquering, certainly I think, the physical experience.

肉体的な経験を征服することに非常に成功したと思います。

General relativity,

一般相対性理論。

Einstein's theory is a good example.

アインシュタインの理論が良い例です。

He needed a concept of curved space. And it turns out that Riemann and others,

湾曲した空間の概念が必要だったのです。そして、リーマンらが判明しました。

in the 19th century, had already thought about it. They thought, you have two dimensions, three dimensions,

19世紀には、すでに考えられていたことです。彼らは、2次元と3次元があると考えていました。

why not have an arbitrary number of dimensions?

任意の数の次元を持つことができます。

Abstract thinking of mathematicians was kind of ahead. In quantum theory,

数学者の抽象的な思考は、ある意味では先行していました。量子論では

you know, even if you sit and meditate for a million years you wouldn't come up with the laws of quantum

100万年座って瞑想しても、量子力学の法則を思いつくことはできないでしょう。

mechanics because it's so bizarre. So in that sense nature had to force that upon us,

メカニックはとても奇抜なものだからです。そういう意味では、自然がそれを押し付けてきたとも言えます。

and it was like a very painful process. We had to let go of many very cherished concepts.

それは、とても苦しいプロセスのようでした。多くの大切なコンセプトを手放さなければなりませんでした。

For instance, the fact that the world is a predictable system. Quantum mechanics is just the way nature works.

例えば、世界は予測可能なシステムであるという事実。量子力学は自然の仕組みに過ぎません。

You see it very clearly at the level of atoms and elementary particles,

それは、原子や素粒子のレベルでよくわかります。

and if you take many many atoms together, then in some sense many of the features of quantum mechanics

また、多くの原子を集めれば、ある意味では量子力学の特徴の多くが

are kind of washed away. We don't observe it because we are made out of like 10 to the 24 molecules typically.

は洗い流されてしまいます。私たちは10個から24個の分子で構成されているので、それを観察することはできません。

There are several things that you have to give up in quantum mechanics. The first is that you cannot know the answer to all questions.

量子力学には、諦めなければならないことがいくつかあります。1つ目は、すべての問題の答えを知ることはできないということです。

So, for instance, typically, I would say, well, this is pen, I know where it is, and if I drop it,

ですから、例えば、一般的には、「これはペンだから、どこにあるかわかるし、もし落としても大丈夫だ。

I know what the velocity is; that it's moving. Quantum mechanics says that's all fine,

私は速度を知っている、つまり動いているということだ。量子力学ではそれは問題ないとされています。

you can know either the position or the velocity, so roughly half the questions are unanswerable.

は、位置と速度のどちらも知ることができるので、約半分の質問は答えられません。

That's really bizarre, because how would I then describe a pen?

それはとても奇妙なことです。なぜならば、私はペンをどのように表現するのでしょうか？

But there's a second thing, which is that even if you want to describe

しかし、2つ目の問題があります。それは、たとえあなたが説明したいと思っていても

how things move, they never have a specific answer. So, like if you are a

物事がどのように動くのか、具体的な答えはありません。だから、例えば、あなたが

classical object like a pen, now you would say "How do I go from A to B?"

ペンのような古典的な物体を、今度は「AからBに行くにはどうしたらいいか？」と言うのです。

Well there will be a shortest path. If I throw a stone it will go like this from A to B.

さて、最短の道はあるでしょう。私が石を投げれば AからBまでこのようになります。

And I will know exactly how it went,

そして、それがどのように行われたかを正確に知ることができます。

and this is like the optimal path, and I can calculate this, and mathematics is about this. Now, if you're a

とか、これは最適な道筋のようなもので、これは計算できる、数学とはこういうものだ、とか。さて、もしあなたが

quantum mechanical particle, you are basically free to go on any possible

量子力学的な粒子であれば、基本的にどのような可能性にも自由に進むことができます。

path, so you know, and you could even have really very bizarre paths that goes all the way like that.

このように、非常に奇妙な経路を辿ることもできます。

And the thing that physics will do, it will give a certain probability for all these

そして、物理学が行うことは、これらのすべてのものに一定の確率を与えることです。

possible scenarios. If I for instance want to go from my work to home

可能なシナリオです。例えば、仕事場から家まで行きたいとしたら

I know pretty good what the path is I'm taking,

自分の進むべき道はよくわかっている。

but if I'm an electron that's moving, say, from one atom to another atom,

しかし、もし私が電子で、ある原子から別の原子へと移動しているとします。

it's more like these, these curves, so everything is in terms of chance.

というよりも、このような曲線になっていて、すべてが偶然の産物なのです。

The quantum probability is something, it's like an, it's a complex number, and if you take the absolute value squared,

量子確率は何かというと、それは複素数のようなもので、絶対値を2乗すると

it becomes actual probabilities.

は、実際の確率になります。

So for instance, one thing that, because of these kind of funny things, what can happen is that

例えば、このようなおかしなことがあると、次のようなことが起こり得ます。

instead, you know, even if you think about where a particle is,

ではなく、粒子がどこにあるかを考えても

now it could be either here, or it could be here, and you might say, well there's a certain probability

ここにもあるかもしれないし、ここにもあるかもしれないし、一定の確率で

it's an A, and a probability it's in B.

の場合はA、Bの場合は確率的にBとなります。

But a quantum mechanical particle can be for half be here and half be there, at the same time.

しかし、量子力学的な粒子は、半分はここに、半分はあそこに、同時に存在することができます。

So this is very strange.

これはとても不思議なことです。

It's like you take a point, and you divide it in two fractions of a point, put one here and put one there.

一点をとって、ここに一点、ここに一点というように、端数を二つに分けるようなものです。

And so the rules of quantum mechanics are partly captured probability,

そして、量子力学のルールは、確率を捉えた部分があるわけです。

but they have some kind of very strange phenomena built in them, and it's ... you have to kind of dig deep and basically things

しかし、それらには非常に奇妙な現象が組み込まれていて、それは......ある種、深く掘り下げて、基本的に物事を考えなければなりません。

happening, you know, all at the same time

同時多発的に発生する

makes quantum mechanics very difficult to absorb.

は、量子力学を吸収することを非常に難しくしています。

It's been said, you know, if you say you understand quantum mechanics that you're just lying, because this is

量子力学を理解していると言っても、それは嘘だと言われていますが、これは

something that in our intuition we simply cannot understand.

私たちの直感では理解できないもの。

Physicists were thinking about, well, we need some objects, for instance, to describe the transitions in the atom,

物理学者たちは、例えば、原子の遷移を記述するためのオブジェクトが必要だと考えていました。

how we go from one state to another state,

1つの州から別の州へと移動する方法。

so well, we need something, and then they discovered it's called a matrix, and it's actually known, of course, in the mathematical literature.

そこで、何かが必要だと考えた彼らは、行列と呼ばれるものを発見したのですが、これはもちろん数学の文献で知られています。

But to understand the

しかし、理解するためには

concepts that came in, like Hilbert spaces and wave functions, that was mathematics that partly was being developed at that time,

ヒルベルト空間や波動関数などの概念が入ってきて、当時一部で開発されていた数学でした。

but I would say then the physicists really ran off with it,

しかし、この時は物理学者たちが大暴れしたと言えるでしょう。

and at this point, I would say mathematicians are

と、この時点では、数学者は

trying to catch up and

追いつこうとすることと

understand, you know,

を理解している、ということです。

not only the language, but also the power of the concept. Because there's something incredibly

言葉だけでなく、コンセプトの力も大きい。なぜなら、何か信じられないような

natural in quantum theory which is perfect for the mathematical mind.

量子論では、数学者の心にぴったりの自然なものです。

Because mathematicians, they're not studying one object.

なぜなら、数学者は1つの物体を研究しているわけではないからです。

They actually really always think about the whole family; the category, all possible objects. So, all numbers at the same time, or all possible

彼らは実際には常にファミリー全体、つまりカテゴリー、すべての可能なオブジェクトについて考えています。つまり、すべての数字を同時に考えたり、すべての可能な

geometrical shapes. And what quantum mechanics says is, that's like perfect, because I'm not considering one path,

幾何学的な形をしています。量子力学では、「完璧だ」と言っています。なぜなら、1つの経路を考えているわけではないからです。

I'm considering the space of all paths. And in fact, I'm giving you something else. I'm giving you a way,

すべての道の空間を考えています。そして実際には、私はあなたに他のものを与えています。私はあなたに道を与えているのです。

indeed, a probability of each possible path,

確かに、各可能なパスの確率を

so in some way, you can sum all over these different paths. We call this the sum over histories

ということで、何らかの方法で、これらの異なるパスの総和をとることができます。これを「ヒストリーの総和」と呼びます

which is a ...

となっています。

again, very funny concept, because we think of history as something, well,

私たちは歴史を何かのように考えているので、とても面白いコンセプトです。

certain things, certain facts that happens. For the quantum mechanical mathematician,

あること、ある事実が起こる。量子力学の数学者にとって

history is all possible scenarios at the same time. And so there's a certain way to

歴史は、すべての可能なシナリオが同時に存在します。だからこそ、ある方法で

consider many different things at the same time. And so one

いろいろなことを同時に考える。そうして一つの

wonderful application on all of this was in, in knot theory. So if you have a knot, like this,

これらを見事に応用したのが、結び目の理論でした。このような結び目があれば

connected like this, so it's a ... it's a... I'm just

このように接続されているので、それは...それは...です。私はただ

drawing here the projection, but there's a certain trajectory in three dimensions, and, you know,

ここに描かれているのはプロジェクションですが、3次元ではある種の軌跡を描いていますしね。

mathematicians want to distinguish. This one is knotted, this one is not. And so, if you're a knot

数学者は区別したがる。これは結び目がある、これはない。それで、もしあなたが結び目の

theorist, you want to study knots in generality; the space of all possible knots. Actually

理論家としては、結び目を一般的に研究したいのです。実際に

quantum theory comes to the rescue.

量子論がその助けとなる。

It's a very efficient way to describe these knots. And young physicists are not that surprised anymore as

この結び目を表現するには、とても効率的な方法なのです。そして、若い物理学者たちは、もうそれほど驚くこともなく

for instance Niels Bohr or

例えば、ニールス・ボーアや

Albert Einstein was, who were really fighting the concept. I often think, you know, at some point there will be a generation of mathematicians

アルバート・アインシュタインは、この概念と本当に戦っていました。私はよく思うのですが、ある時点で、数学者の世代が

that kind of grow, grow up with quantum theory, and they will probably apply these kinds of rules in a very natural way.

そのような人たちは、量子論とともに成長し、ごく自然な形でこの種のルールを適用することになるでしょう。

Brady: "They are starting to steal your stuff, arent they?"

Brady: "彼らはあなたのものを盗み始めているのではないか？"

Exactly. So, the remarkable thing is that there are some very deep

その通りです。そこで注目したいのは、非常に深い

mathematical problems; abstract mathematical problems, like this classification of all knots,

数学的な問題、抽象的な数学的な問題、例えばこの全ての結び目の分類など。

or thinking of four- or six-dimensional spaces, really purely interested from mathematical arguments,

とか、4次元や6次元の空間を考えるとか、本当に純粋に数学的な議論から興味を持っていました。

and now there is a bunch of these problems that actually have been solved using quantum theory. I think of it like a good mathematician

そして今、量子論を使って実際に解決されたこれらの問題の数々があります。私は優秀な数学者のように考えています

has a toolbox that's filled with everything: geometry,

のツールボックスには、ジオメトリというあらゆるものが入っています。

calculus, number theory,

微積分、数論。

and, you know, the rules of modern physics should be there.

と、現代物理学のルールがあるはずなんです。

It's just a very efficient way to deal with certain problems, and I am actually ... I think many mathematicians were surprised that the

これは、ある問題に対処するための非常に効率的な方法であり、私は実際に ...多くの数学者が驚いたと思います。

information was flowing in the other direction. Physicists are surprised, because they see the quantum

の情報が逆方向に流れていました。物理学者たちは驚きましたが、彼らは量子

mathematicians, so to say, take these ideas and

いわば、数学者がこれらのアイデアを取り入れて

generalise them even further.

それをさらに一般化したのが

It's like you have a very brilliant student and you're teaching the student everything you know,

とても優秀な生徒がいて、その生徒に自分の知っていることをすべて教えているようなものです。

and then the student takes that much further, because again,

と言うと、生徒はさらにその先を目指しますからね。

and that's the beauty of math. It is, in some sense, rooted in reality, but then it's not. It's hard to meet a

それが数学の良さでもあります。ある意味では現実に根ざしていますが、そうではありません。に出会うのは難しいですね。

mathematician that's not ...

という数学者がいます。

doesn't think

は考えません。

platonic; thinks that, you know, the prime numbers are just out there, and they have nothing to do with the fact that there are

プラトニック、つまり、素数はただそこにあるだけで、存在するという事実とは何の関係もないと考えているのです。

three pens here. That the number three is there.

three pens here.3という数字がそこにあること

And so, there's this kind of

そして、このような

interesting kind of an

興味深い種類の

oscillation between math

数学の間の揺らぎ

absorbing

吸収

facts from reality,

現実の中にある事実。

and then kind of take a flight of the imagination, and go in directions that the physicist says, wait a moment that was not

そして、ある種の想像力を駆使して、物理学者が「ちょっと待って、それは違うんじゃないか」と言うような方向に進んでいくのです。

actually our intent to go and do, to do this kind of crazy stuff.

実際には、このようなクレイジーなことをするために行ったり、やったりすることが目的です。

Brady: "Has this emergence of mathematics coming out of physics been a difficult birth? Has it been

ブレイディ：「物理学から出てきた数学の出現は、難産でしたか？それは

"something that has caused problems?"

"何か問題が発生したのか？"

Yes. In two directions, I think.

はい、2つの方向性があると思います。

You know, the physicists would say math is very attractive,

物理学者は、数学はとても魅力的だと言いますよね。

but it's like a black hole in which you can disappear, because you will be divorced from reality.

が、ブラックホールのように、現実から切り離された状態になるので、消えてしまうことがあります。

Odysseus, you have to tie yourself to the to the mast of the ship not to be seduced by the beauty of mathematics

オデュッセウスよ、数学の美しさに魅了されないように、船のマストに自分を縛り付けなければならない。

because

なぜなら

many of the great insights in physics were looked very painful and inelegant and ugly

物理学における偉大な洞察の多くは、非常に痛々しく、無骨で醜いものに見えました。

to begin with. It took some time to appreciate

と思っていました。鑑賞するには時間がかかりましたが

quantum theory as something beautiful. So that's the rivalry from the physics part. From the math part,

量子論は美しいものだと思っている。それが物理学的な部分でのライバル関係ですね。数学の部分から

I think it is that, you know, physicists are sometimes seen as kind of plumbers, they, you know, they make their hands dirty,

物理学者は配管工のように見られることがありますが、彼らは手を汚します。

they deal with this messy thing called reality.

彼らは現実という厄介なものに対処しています。

It's beautiful, as a mathematician, you can go this platonic world where there's a certain perfectness. So there's also

数学者としては、ある種の完璧さがあるプラトニックな世界に行けるのは美しいことです。また、そこには

I think quite a few mathematicians that weren't originally

元々はそうではなかった数学者も、かなりの数に上ると思います。

impressed with the physical ideas. They might say, well,

物理的なアイデアに感動する。彼らは、まあ、と言うかもしれません。

you know, you might kind of be ... this might ... one or two areas where this is relevant, but not to my field,

あなたの場合は、これが関連している分野が1つか2つあるかもしれませんが、私の分野には関係ありません。

which is pristine. And then certainly,

という、原始的なものです。そして、確かに

out of left field,

を左手に持っています。

there were some physical ideas that proved to be very very very powerful,

その中で、非常に大きな力を発揮した物理的なアイデアがありました。

and I feel it's like a wave, you know, you're, you think it won't hurt you until the wave hits you, and then suddenly you are underwater.

それは波のようなもので、波が自分に当たるまでは自分は傷つかないと思っていても、突然、水中に沈んでしまうのです。

In physics we have really a crisis, and the crisis is that we have two

物理学では本当に危機的状況にあり、その危機とは2つの

wonderful theories that describe the world.

世界を記述する素晴らしい理論です。

One is quantum

一つは量子

theory: It's perfect for elementary particles. The other one is relativity, and it's used to describe large structures in the universe.

理論：素粒子に最適です。もう1つは相対性理論で、宇宙の大きな構造を記述するのに使われます。

But the point is these two things clash, and they clash because these physical laws of the large. They include

しかし、重要なのは、この2つのものが衝突するということです。衝突するのは、これらの大規模な物理的法則があるからです。それらには

events like black holes, and perhaps more important, the big bang, where the rules of physics break down.

ブラックホールやビッグバンのように、物理学のルールが崩れてしまうような事象。

So this is quite remarkable that the theory that you have to describe reality has its own failure built into it; and

つまり、現実を説明するための理論に、自らの失敗が組み込まれているというのは、非常に驚くべきことなのです。

we think that, in some sense, the only solution is

私たちは、ある意味、唯一の解決策は

to bring quantum mechanics into it. So we somehow have to marry these two pictures. It's not enough to do quantum mechanics.

そこに量子力学を持ち込むのです。ですから、この2つの絵をなんとか結婚させなければなりません。量子力学をやるだけでは不十分なのです。

It's not enough to do geometry. And we know this is happening, because the universe is working,

幾何学をするだけでは不十分なのです。このようなことが起きているのは、宇宙が動いているからです。

you know, right now while we speaking, the laws of nature are perfectly working,

今、私たちが話している間にも、自然の法則は完全に働いているんですよ。

and there's no breakdown anywhere. So that means that we have to come up with something

そして、どこにも故障がない。ということは、私たちは何かを考えなければならないということです。

deeper than geometry.

幾何学よりも深い。

Now what is that?

それは何ですか？

That's, that's, I think, the big mystery. And we have some ideas.

それが、大きな謎だと思います。私たちはいくつかのアイデアを持っています。

So, the idea could be that geometry is something like

つまり、ジオメトリは次のようなものだと考えられます。

thermodynamics, which is the theory that describes, basically, materials. So if I think of this table, it feels pretty solid to me,

熱力学というのは、基本的には物質を説明する理論です。ですから、このテーブルを思い浮かべれば、かなりしっかりしていると感じられます。

but I know it's a large collection of molecules.

しかし、大きな分子の集合体であることはわかっている。

I feel the air around me, and I feel a certain temperature.

周りの空気を感じ、一定の温度を感じます。

But there's no such thing as temperature, these are just molecules bouncing up and down.

しかし、温度というものは存在せず、これらは分子が上下に跳ねているだけです。

So could it be that just as this physical sheet of paper, if I zoom in, zoom in, zoom in,

つまり、この物理的な紙のように、ズームイン、ズームイン、ズームインしても

I will certainly see molecules and atoms and elementary particles, and there's no paper anymore,

必ず分子や原子、素粒子が見えてくるし、もう紙はない。

could it be that if I zoom into space itself, at some point I see the pixels?

もしかして、宇宙空間にズームインすると、どこかでピクセルが見えてくるのでは？

I see something else? You know, we were thinking perhaps it's pure informations, like zeroes and ones. So, I find that absolutely

何か別のものが見えますか？私たちは、ゼロとイチのような純粋な情報ではないかと考えていました。だから、私は絶対に

breathtaking. Because if you are able to come up with a piece of mathematics

息を飲む。なぜなら、もしあなたが数学の一部を思いつくことができたら

that is more fundamental than space, than geometry, I think it would be

空間や幾何学よりももっと根源的なものであると考えています。

revolutionising all of math.

すべての数学に革命を起こす。

Just imagine

想像してみてください。

trying to imagine these two huge objects what they're doing to the matter, to the space-time around it as

この2つの巨大な物体を想像してみると......物質や周囲の時空に何をしているのかを

they, and the space-time must be going "oh my god what's happening here", and it's flipping up and down up and down.

そして、時空間は「ああ、何が起こっているんだ」と思って、上下左右に反転しているに違いない。

And they're just generating, these waves are beginning to propagate out. 350 kilometers is about the distance,

そして、この波が発生し、外に向かって伝わり始めているのです。350kmはその程度の距離です。

what, to London? Then you've got two thirty solar mass black holes sort of orbiting one another in this region

ロンドンまでかな？そして、この地域には2つの30太陽質量のブラックホールが互いに周回しているような状態です。

And so they're going...

そして、彼らが行くのは...。