Name: エネルギー保存の簡単な証明 (A Simple Proof of Conservation of Energy)
Uploaded: 2021-10-08T17:40:29.000Z
Duration: 3 min 58 s

One of the fundamental principles in modern physics is that there's no absolute time.

現代物理学の基本原理のひとつに、「絶対的な時間は存在しない」というものがあります。

程度の副詞

And I'm not even talking about relativity making time go at different rates if you're

また、相対性理論では時間の流れが違ってくるという話でもありません。

上級比較級を表す句型

going near light speed – I just mean that any time is as good as any other to set your

私が言いたいのは、光速に近づくためには、いつでもよいということです。

The predictions of physics work all the same, and it's not like there's some “absolute

物理学の予測はすべて同じように機能するし、「絶対的なもの」があるわけでもない。

starting time” – I mean, if there were, time zones wouldn't work!

つまり、もしそうであれば、タイムゾーンは機能しないということです。

In addition to allowing time zones, the fact that there's no absolute time also implies

タイムゾーンに加えて、絶対的な時間がないということは、次のようなことを意味します。

エネルギー保存の法則に基づいて

Here's a simple proof to show that if a force doesn't depend explicitly on time,

ここでは、力が時間に明示的に依存しない場合の簡単な証明をします。

となると、その力はエネルギーを節約することになります。

First, conserving energy just means that there's a certain number, called the energy, which

まず、省エネとは、エネルギーと呼ばれるある一定の数値を

doesn't change as time passes – if you compare the energy at two different times

は時間が経っても変化しない。2つの時間のエネルギーを比較すると

を見ると、違いがわからないと思います。

And the total energy of a system is the sum of its energy of motion, or kinetic energy,

そして、システムの全エネルギーは、運動エネルギーの合計である。

and its energy due to position – the potential energy.

と、その位置によるエネルギーである位置エネルギーがあります。

So all we need is to find the change in kinetic and potential energies over time, and add

つまり、時間経過に伴う運動エネルギーと位置エネルギーの変化を求めて、それに

Ok, we know the kinetic energy of an object is half of its mass times its velocity squared.

さて、物体の運動エネルギーは、その質量の半分に速度の二乗をかけたものであることがわかっています。

So the change in kinetic energy over time is just one half m times the difference of

つまり、時間経過に伴う運動エネルギーの変化は、ちょうど1/2m倍の差があることになります。

Some clever algebra can rearrange this expression to become the average velocity times m times

巧みな代数により、この式は、平均速度×m倍となります。

ベロシティの変化のことです。

But a change of velocity over time is just an acceleration, and mass times acceleration

しかし、時間の経過に伴う速度の変化は単なる加速度であり、質量に加速度をかけたものが

は、物体にかかる力と同じです。

So the change in kinetic energy of an object over time is just velocity times force.

つまり、物体の運動エネルギーの時間変化は、「速度×力」でしかないのです。

On the other hand, the change in the potential energy of an object is negative the amount

一方、物体の位置エネルギーの変化は、負の量の

of work it takes to get the object to its current position from its previous position

前の位置から現在の位置に物体を移動させるのに必要な作業量

independent of the path taken – that is, potential energy is the negative of the force

経路に依存しない、つまり、位置エネルギーは力のマイナスである。

を位置の変化の倍にして適用する。

This is where the “there's no absolute time” part comes into play – you can't

ここで、「絶対的な時間はない」という部分が出てきますが、これは

have potential energy for a force that changes over time.

は、時間とともに変化する力に対する位置エネルギーを持っています。

And just to be clear, “no changing over time” doesn't mean that an object can't

また、「経年変化がない」というのは、「ある物体が」という意味ではありません。

experience a changing force along the course of its journey: the force might be different

旅の途中で変化する力を経験する：その力は異なるかもしれない

at different places, but at any particular place, the force must remain the same.

しかし、どの場所でも、力は同じでなければなりません。

Anyway, this is all just to say that the change in potential energy is negative F times the

とにかくこれは、位置エネルギーの変化は、負のF倍ということを言いたいのです。

The negative comes from the fact that if you let the force push you along your potential

ネガティブなのは、力で押してもらうと、ポテンシャルが

energy decreases, while if you fight in opposition to the force your potential energy increases.

エネルギーは減少し、力に逆らって戦えば位置エネルギーは増加します。

So the change in potential energy over time is the negative of the force times the change

つまり、時間経過に伴う位置エネルギーの変化は、力の負の値に変化量をかけたものになります。

in position over time, but change in position over time is velocity!

は、時間とともに位置が変化するが、時間とともに位置が変化するのは、速度である。

Which means change in potential energy of an object over time is negative velocity times

つまり、物体の時間的な位置エネルギーの変化は、負の速度の倍数となる。

And thus the change in the total energy over time, which is the sum of the changes in the

そして、その結果、時間経過による総エネルギーの変化は、その合計が

kinetic and potential energies over time, is v*F plus negative v*F, which equals zero!

時間軸上の運動エネルギーと位置エネルギーは、v*Fにマイナスのv*Fを加えたもので、ゼロになります。

And zero change in energy over time is precisely conservation of energy!

そして、時間の経過に伴うエネルギーの変化がゼロになることは、まさにエネルギーの保存です。

All for the same reason that time zones work.

タイムゾーンが機能するのと同じ理由です。

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I'd like to recommend the book Unruly Places: Lost Spaces, Secret Cities, and Other Inscrutable

私は、『Unruly Places』という本を推薦したいと思います。失われた空間、秘密の都市、そしてその他の不可解なもの

Geographies by Alastair Bonnett [called Off the Map in the UK] – it's a tour of all

Alastair Bonnettの『Geographies』（イギリスでは『Off the Map』と呼ばれています）は、すべての国を巡っています。

sorts of weird, abandoned or disregarded places around the world, from the unrecognized self-declared

世界中のさまざまな奇妙な場所、放棄された場所、無視された場所、認識されていない自己宣言された場所など、さまざまな場所があります。

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島国シーランドからトラフィック・アイランド、そしてその先へ。

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audible for helping me continue to make these videos.

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As a followup, I'll admit that I skimmed over some details in this derivation and it's

続いて、この導出の詳細を読み飛ばしてしまったことを認めますが、それは

微積分を使えば、もっと簡単にできます。

You just have to know that the time derivative of kinetic energy is m times v times a which

運動エネルギーの時間微分は、m×v×aであることを知っていればよい。

is F*v, and the time derivative of potential energy is -F times dx/dt, or -F*v, and so

はF*vであり、位置エネルギーの時間微分は-F倍のdx/dt、つまり-F*vとなるので

the time derivative of the total energy, dE/dt, is F*v-F*v = 0, which means energy doesn't

全エネルギーの時間微分であるdE/dtは、F*v-F*v=0となり、エネルギーは存在しないことになります。

は、時間とともに変化します。

And as a final followup, the most legit and robust version of this proof as it applies

そして最後のフォローアップとして、この証明の最も正当で強固なバージョンが適用されています。

to ALL OF PHYSICS is called Noether's theorem, discovered by Emmy Noether in 1915.

1915年にエミー・ノエテルが発見した「ノエテルの定理」と呼ばれる定理が、全物理学に適用されます。