is on many levels, one of the most intuitive laws in

は多くのレベルで、最も直感的な法則の一つである

mathematics and in probability theory.

数学と確率論の分野で

But because it's so applicable to so many things, it's often a

しかし、これは非常に多くのことに応用できるので、しばしば

misused law or sometimes, slightly misunderstood.

誤用された法律や、時々、少し誤解されていることがあります。

So just to be a little bit formal in our mathematics, let

数学では少し形式的な話になりますが

me just define it for you first and then we'll talk a little

私はちょうどあなたのために最初にそれを定義し、その後、我々は少し話をします。

bit about the intuition.

直感について少し。

So let's say I have a random variable, X.

では、ランダム変数Xがあるとしましょう。

And we know its expected value or its population mean.

そして、その期待値や母集団の平均値を知っています。

The law of large numbers just says that if we take a sample

大数の法則は、サンプルを取ると、次のようなことを言っています。

of n observations of our random variable, and if we were

の観測値のうち、ランダム変数のn個の観測値のうち、もし

to average all of those observations-- and let me

これらの観察結果を平均化して、私に

define another variable.

別の変数を定義します。

Let's call that x sub n with a line on top of it.

その上に線を引いたxをn以下としましょう。

This is the mean of n observations of our

これは、我々の

random variable.

ランダム変数。

So it's literally this is my first observation.

だから文字通り、これが私の最初の観察です。

So you can kind of say I run the experiment once and I get

だから、一度実験をしてみたら、次のような結果が得られたということになります。

this observation and I run it again, I get that observation.

この観測をもう一度実行すると、その観測が得られます。

And I keep running it n times and then I divide by my

そして、私はそれをn回実行し続けて、私はそれを私の

number of observations.

観察の数。

So this is my sample mean.

これが私の平均値です

This is the mean of all the observations I've made.

これは、私が行った全ての観測の平均値です。

The law of large numbers just tells us that my sample mean

大数の法則は、私の標本の平均が

will approach my expected value of the random variable.

はランダム変数の私の期待値に近づきます。

Or I could also write it as my sample mean will approach my

あるいは、私のサンプル平均値が私の

population mean for n approaching infinity.

nが無限大に近づく場合の母集団平均。

And I'll be a little informal with what does approach or

そして、私は少し非公式になるでしょう何がアプローチするか、または

what does convergence mean?

収束とは何を意味するのか？

But I think you have the general intuitive sense that if

しかし、一般的な直感的な感覚では、もしも

I take a large enough sample here that I'm going to end up

私はここで十分に大きなサンプルを取って、私は終わりにしようとしていることを

getting the expected value of the population as a whole.

母集団全体の期待値を取得します。

And I think to a lot of us that's kind of intuitive.

そして、私たちの多くにとっては直感的なことだと思います。

That if I do enough trials that over large samples, the trials

大規模なサンプルを使って十分な試験をすれば

would kind of give me the numbers that I would expect

私が期待している数字を教えてくれるだろう

given the expected value and the probability and all that.

期待値と確率が与えられています。

But I think it's often a little bit misunderstood in terms

しかし、それはしばしば少し誤解されることがあると思います。

of why that happens.

なぜそうなるのか

And before I go into that let me give you

そして、その前に、私はあなたに

a particular example.

特定の例。

The law of large numbers will just tell us that-- let's say I

大数の法則は私たちに教えてくれます -- 例えば、私が

have a random variable-- X is equal to the number of heads

Ｘは頭数に等しい

after 100 tosses of a fair coin-- tosses or flips

百回目

of a fair coin.

公正なコインの

First of all, we know what the expected value of

まず、期待値がわかっているのは

this random variable is.

このランダム変数は

It's the number of tosses, the number of trials times

それはトスの数、トライの回数です。

the probabilities of success of any trial.

裁判の成功確率

So that's equal to 50.

ということは、50に相当しますね。

So the law of large numbers just says if I were to take a

だから大数の法則では、もし私が

sample or if I were to average the sample of a bunch of these

サンプルや、これらの束のサンプルを平均化するとしたら

trials, so you know, I get-- my first time I run this trial I

試練があるんだ、だから...最初にこの試練をやった時には

flip 100 coins or have 100 coins in a shoe box and I shake

100枚のコインを反転させるか、または靴箱に100枚のコインを持っていると私は振る

the shoe box and I count the number of heads, and I get 55.

靴箱を見て頭の数を数えたら55個になった

So that Would be X1.

だからX1になる。

Then I shake the box again and I get 65.

そしてまた箱を振ったら65になってしまいました。

Then I shake the box again and I get 45.

そしてまた箱を振ったら45になってしまった。

And I do this n times and then I divide it by the number

これをn回やって、それを数で割ってみる。

of times I did it.

をした回数

The law of large numbers just tells us that this the

大数の法則は、ちょうどこのことを教えてくれます。

average-- the average of all of my observations, is going

私の観測結果の平均値が

to converge to 50 as n approaches infinity.

は、nが無限大に近づくにつれて50に収束します。

Or for n approaching 50.

あるいは50に近づいたNのために。

I'm sorry, n approaching infinity.

すみません、無限大に近づいています。

And I want to talk a little bit about why this happens

そして、なぜこのようなことが起こるのか、少しだけお話ししたいと思います。

or intuitively why this is.

とか、なぜそうなるのかを直感的に理解することができます。

A lot of people kind of feel that oh, this means that if

多くの人が感じていることですが、これは、もしも

after 100 trials that if I'm above the average that somehow

100回の試験の後、もし私が平均以上であれば、どういうわけか

the laws of probability are going to give me more heads

確率の法則が頭をよぎる

or fewer heads to kind of make up the difference.

少ない頭数で差を埋めようとしている

That's not quite what's going to happen.

それは、それが起こるとは到底思えません。

That's often called the gambler's fallacy.

これはよく「ギャンブラーの誤謬」と呼ばれています。

Let me differentiate.

差別化させてください。

And I'll use this example.

そして、私はこの例を使います。

So let's say-- let me make a graph.

では、例えば...グラフを作ってみましょう。

And I'll switch colors.

そして、私は色を変えます。

This is n, my x-axis is n.

これはNで、私のX軸はNです。

This is the number of trials I take.

これは私が受けた試行回数です。

And my y-axis, let me make that the sample mean.

そして、私のY軸は、サンプルの平均値にしてみましょう。

And we know what the expected value is, we know the expected

そして、期待値が何であるか、期待値が何であるかを知っています。

value of this random variable is 50.

このランダム変数の値は50です。

Let me draw that here.

ここに描かせてください。

This is 50.

こちらは50です。

So just going to the example I did.

だから私がやった例に行くだけです。

So when n is equal to-- let me just [INAUDIBLE]

だから n が等しくなると -- [INAUDIBLE]と言わせてください。

here.

ここに

So my first trial I got 55 and so that was my average.

最初のトライアルで55点を取ったので、それが私の平均値になりました。

I only had one data point.

データポイントは1つしかなかった。

Then after two trials, let's see, then I have 65.

それから2回の試練を経て、さて、65になりました。

And so my average is going to be 65 plus 55 divided by 2.

だから私の平均は65+55を2で割ったものになります。

which is 60.

60になっています。

So then my average went up a little bit.

そうすると、平均値が少し上がったんです。

Then I had a 45, which will bring my average

それから私は45を持っていました、これは私の平均をもたらすでしょう。

down a little bit.

少し下がる

I won't plot a 45 here.

ここでは45をプロットしません。

Now I have to average all of these out.

今、私はこれらのすべてを平均化しなければなりません。

What's 45 plus 65?

45＋65ってなんだ？

Let me actually just get the number just

私は実際に番号を取得してみましょう

so you get the point.

ということで、ポイントを押さえておきましょう。

So it's 55 plus 65.

だから55＋65ですね。

It's 120 plus 45 is 165.

120＋45で165です。

Divided by 3.

3で割った

3 goes into 165 5-- 5 times 3 is 15.

3が165に入る5--5回3が15になる。

It's 53.

それは53です。

No, no, no.

いやいやいや、そんなことはありません。

55.

55.

So the average goes down back down to 55.

だから平均は55まで下がってしまう。

And we could keep doing these trials.

そして、私たちは、このような試験を続けることができます。

So you might say that the law of large numbers tell this,

だから、大きな数字の法則がこれを物語っていると言ってもいいかもしれません。

OK, after we've done 3 trials and our average is there.

3回の試行を経て、平均値が出てきました。

So a lot of people think that somehow the gods of probability

だから、多くの人は、確率の神々が何かの拍子に

are going to make it more likely that we get fewer

が少なくなりそうです。

heads in the future.

将来的には頭を

That somehow the next couple of trials are going to have to

どうにかして、次の2つの試練は

be down here in order to bring our average down.

平均値を下げるために ここにいるんだ

And that's not necessarily the case.

そして、必ずしもそうとは限らない。

Going forward the probabilities are always the same.

前に進むと確率はいつも同じです。

The probabilities are always 50% that I'm

確率は常に50％で、私は

going to get heads.

首を取りに行く

It's not like if I had a bunch of heads to start off with or

それは、私が最初に頭の束を持っていた場合や

more than I would have expected to start off with, that all of

私が思っていた以上に、すべてのものが

a sudden things would be made up and I would get more tails.

急に物事がでっち上げられて、しっぽが増えてしまう。

That would the gambler's fallacy.

それはギャンブラーの誤謬だろう。

That if you have a long streak of heads or you have a

それは、もしあなたが長い頭を持っている場合や

disproportionate number of heads, that at some point

雁首そろって

you're going to have-- you have a higher likelihood of having a

あなたは、あなたが持っている可能性が高くなります。

disproportionate number of tails.

不釣り合いな数の尻尾

And that's not quite true.

そして、それは真実ではありません。

What the law of large numbers tells us is that it doesn't

大数の法則が教えてくれるのは、それは

care-- let's say after some finite number of trials your

気をつけて... では、いくつかの有限の試行回数の後に、あなたの

average actually-- it's a low probability of this happening,

実際には平均して...低い確率で起きています

but let's say your average is actually up here.

でも、あなたの平均がここで上がっているとしましょう。

Is actually at 70.

実際には70歳です。

You're like, wow, we really diverged a good bit from

あなたは、あなたのようなものです。

the expected value.

が期待値になります。

But what the law of large numbers says, well, I don't

しかし、大数の法則が何を言っているのかというと、まあ、私は

care how many trials this is.

これがどれだけの試練なのか気になる

We have an infinite number of trials left.

試練は無限に残っています。

And the expected value for that infinite number of trials,

そして、その無限にある試練の期待値。

especially in this type of situation is going to be this.

特にこのような状況では、このようになりそうです。

So when you average a finite number that averages out to

だから、有限の数を平均化すると

some high number, and then an infinite number that's going to

いくつかの高い数字、そして無限の数字が

converge to this, you're going to over time, converge back

これに収束するには、時間をかけて収束していくことになります。

to the expected value.

を期待値に変換します。

And that was a very informal way of describing it, but

それは非常に非公式な言い方でしたが

that's what the law or large numbers tells you.

それは法律や大きな数字が教えてくれることです。

And it's an important thing.

そして、それは重要なことです。

It's not telling you that if you get a bunch of heads that

それはあなたに言っていません。

somehow the probability of getting tails is going

しっぽが出る確率がなぜか上がる

to increase to kind of make up for the heads.

を増加させて、頭を補うための一種のようなものです。

What it's telling you is, is that no matter what happened

何が起こっても、それがあなたに伝えているのは

over a finite number of trials, no matter what the average is

平均値がどうであれ、有限の試行回数にわたって

over a finite number of trials, you have an infinite

有限の試行回数では、無限の

number of trials left.

残っている試練の数。

And if you do enough of them it's going to converge back

そして、あなたがそれらを十分に行う場合は、それが戻って収束しようとしています。

to your expected value.

を期待値に変換します。

And this is an important thing to think about.

そして、これは考えるべき重要なことです。

But this isn't used in practice every day with the lottery and

しかし、これは宝くじで毎日実際に使われているわけではありません。

with casinos because they know that if you do large enough

カジノでは、十分に大規模なことをする場合、彼らは知っているので

samples-- and we could even calculate-- if you do large

サンプルを...計算することもできます...もし大規模なサンプルを

enough samples, what's the probability that things

充分なサンプル数があれば、物事が起こる確率は

deviate significantly?

大きく逸脱していますか？

But casinos and the lottery every day operate on this

しかし、カジノや宝くじは毎日この上で運営されています。

principle that if you take enough people-- sure, in the

十分な人数を確保すれば...確かに、その通りです。

short-term or with a few samples, a couple people

短期でも数人のサンプルでも

might beat the house.

家を叩くかもしれない

But over the long-term the house is always going to win

しかし、長期的には家は必ず勝ちます。

because of the parameters of the games that they're

ゲームのパラメータのせいで、彼らは're

making you play.

あなたを遊ばせている

Anyway, this is an important thing in probability and I

とにかく、これは確率的に重要なことであり、私は

think it's fairly intuitive.

かなり直感的だと思います。

Although, sometimes when you see it formally explained like

のように正式に説明されているのを見ると、たまに

this with the random variables and that it's a little

ランダム変数を使っていますが、これは少し

bit confusing.

少し混乱しています。

All it's saying is that as you take more and more samples, the

それが言っているのは、より多くのサンプルを取るにつれて

average of that sample is going to approximate the

そのサンプルの平均値は

true average.

真の平均値。

Or I should be a little bit more particular.

というか、もうちょっとこだわったほうがいいかな。

The mean of your sample is going to converge to the true

サンプルの平均値は、真の

mean of the population or to the expected value of

母集団の平均値、または

the random variable.

ランダム変数になります。

Anyway, see you in the next video.

とにかく、次の動画でお会いしましょう。