I wanted to give you a quote from one of the greatest

偉大な哲学者の言葉を

minds in human history, Galileo Galilei, because I think

引用しましょう。

this quote encapsulates the true point of algebra

ガリレオの言葉に

and really mathematics in general.

代数、実際は数学の根本がとらえられていると思います。

He said, "Philosophy is written in that great book which ever

彼の言うには、哲学は目前の

lies before our eyes-- I mean the universe--

本に書かれている、

but we cannot understand it if we do not first learn

これ本は宇宙を意味します。

the language and grasp the symbols in which is written.

しかし、私たちには完全に理解できない。

This book is written in the mathematical language,

まず、言葉を習わなければ

without which one wanders in vain through a dark labyrinth."

書かれていることを理解することはない。

So very dramatic, but very deep.

この本は数学の言語で書かれてい、

And this really is the point of mathematics.

この本なしでは、深い迷路に迷い込んだようなものです。

And what we'll see as we start getting deeper and deeper

ちょっと、凝ったかな。

into algebra is that we're going to start abstracting things,

でも、これが数学の意味です。

and we're going to start getting to core ideas that

代数を始め

start explaining really how the universe is structured.

だんだん、習ううちに

Sure, these ideas can be applied to things like economics

抽象的な観念を使用するようになり

and finance and physics and chemistry.

宇宙の創設を説明するような

But at their core, they're the same idea,

根本的な概念に近づいて行きます。

and so they're even more fundamental, more pure,

この概念は、

than any one of those applications.

経済や物理、化学にも応用でき、

And to see what I mean by getting down to the root idea,

その根本は同一のものです。

let's go with a-- I guess we started with the very grand,

つまり、このような応用学に比べ

the philosophy of the universe is

数学はより基礎的な、純粋なものです。

written in mathematics-- but let's start

基礎の概念に近づくと、この意味が分かる様になるでしょう。

with a very concrete, simple idea.

では、まず

But we'll keep abstracting, and we'll

数学で表現された

see how the same idea connects across many domains

宇宙の偉大な哲学から始めましょう。

in our universe.

最初は、しっかりした簡素な考えから始めます。

So let's just say we're at the store,

そこから、同一の考えが宇宙の他の分野に

and we're going to buy something.

連結するか見て行きます。

And there is a sale.

お店に行って

The sale says that it is 30% percent off,

そこで売られている何かを買うとします。

and I'm interested.

３０％割引のセールをしています。

I don't shop at too fancy a store.

僕は、あまり高級な店では、買い物をしないから。

So let's say I'm interested in a pair of pants.

ズボンを買いましょう。

And the pair of pants before the sale even is about $20.

ズボンは、セール前の値段は、＄２０です。

And that is about how much I spend on my pants.

僕のズボンはいつもこのくらいです。

So I'm interested in a $20 pair of pants.

＄２０くらいのズボンを買うつもりですが、

But it's even better, there's a 30% off sale on these pants.

このズボンは３０％オフの買い得です。

Well, how would I think about how much

＄２０から、いくら値引きされるでしょうか？

I'm going to get off of that $20?

これは、代数の問題ではありません。

And this isn't algebra yet.

以前に習った問題です。

This is something that you've probably had exposure to.

＄２０に３０％を掛けます。

You would multiply the 30% times the $20.

それが、割引の値です。

So you would say your discount is equal

３０％x＄２０と書きましょう。

to-- you could write it as 30% times $20.

＄２０を紫で書きます。

I'll do the $20 in purple.

または、書き換えて

Or you could write it, if you wanted to write this

0.30　x　２０とも書けます。

as a decimal, you could write this as 0.30 times $20.

この計算をすれば、

And if you were to do the math, you would get $6.

答えは　＄６です。

So nothing new over there.

ここでは、新しいことは習っていません。

But what if I want to generalize it a little bit?

でも、これを一般化するにはどうすればいいでしょう？

That's the discount on this particular pair of pants.

これは、このズボンの割引ですが、

But what if I wanted to know the discount on anything

お店の他の品の割引は

in the store?

どのように計算できるでしょう？

Well, then I could say, well, let

さあ、値段をxとしましょう。

x be the price-- let me do this in a different color.

色を変えますね。

So I'm just going to make a symbol.

シンボルを作ります。

Let x be the price of the product

xは、買う品の値段です。

I want to buy, price, the non-discount price

これは、割引前の値です。

of the product in the store.

そこで、

So now, all of a sudden, we can say

３０％の割引で、　３０％＊Xです。

that our discount is equal to 30% times x.

小数で書けば、

Or if we wanted to write it as a decimal,

３０％の小数は

if we wanted to write 30% as a decimal,

0.30　＊　X　となります。

we could write 0.30 times x.

いいですか？

Now, this is interesting.

お店の中のどれかの品の値段を、選び

Now you give me the price of any product in the store,

これを、xと置き換えます。

and I can substitute it in for x.

基本的に、0.3倍して

And then I can essentially multiply 0.3 times that,

割引の値段がでます。

and I would get the discount.

ゆっくりと

So now we're starting to, very slowly,

代数の概念に入って行きます。

we're starting to get into the abstraction of algebra.

だんだんと、意味深く

And we'll see that these will get much more nuanced and deep

面白くなって行きますよ。

and, frankly, more beautiful as we

代数の勉強に入って行きますね。

start studying more and more kind of algebraic ideas.

ここで終わりではありません。

But we aren't done here.

これをもっと抽象的にできます。

We can abstract this even more.

ここでは、

Over here, we've said we've generalized

商品を一般化しましたね。

this for any product.

単に＄２０の品とは言っていません。

We're not just saying for this $20 product.

もし　＄１０ならば、

If there's a $10 product, we can put that $10 product in here

このxに＄１０を置き換え

for x.

１０を0.3倍します。

And then we would say 0.30 times 10,

つまり、割引は＄３です。

and the discount would be $3.

＄１００の商品では

It might be $100 product, then the discount would be $30.

割引は　＄３０です。

But let's generalize even more.

もっと一般化してみましょう。

Let's say, well, what is the discount for any given

では、特定の品の割引の率はなんでしょう。

sale when the sale is a certain percentage?

セールの率が特定の場合です。

So now we can say that the discount--

ここでは、割引を

let me define a variable.

変数を設定し

So let's let m equal-- or I'll say p just so it makes sense.

m＝ではなく、　pとしましょう。

p is equal to the percentage off.

pは割引です。

Now what can we do?

どうしましょう？

Well, now we can say that the discount

割引は

is equal to the percentage off.

割引のパーセントと同じとできます。

In these other examples, we were picking 30%.

前の例では、３０％でしたが、

But we can say now it's p.

ここでは、p％オフです。

It's the percentage off.

pです。

It's p.

パーセントオフと商品の割引前の値段を掛けると

That's the percentage off times the product in question,

商品の割引前の値段を掛けます。

times the price, the non-discount price

これは、商品の値段はxでしたね。

of the product in question.

割引は、　p＊xとなります。

Well, that was x.

面白くなってきましたね。

The discount is equal to p times x.

これで、任意の割引での、商品、xの割引が

Now, this is really interesting.

計算できます。

Now we have a general way of calculating

言葉や、文字を使用しなくでもできます。

a discount for any given percentage off and any given

yを割引にしようとすることもできます。

product x.

yが割引きの値です。

And we didn't have to use these words and these letters.

同様にして

We could have said let y equal the discount.

yは

Then we could have written the same underlying idea.

パーセントオフのpと

Instead of writing discount, we could

元の値段xを掛けたものと

have written y is equal to the percentage off p times

同じであると書けます。

the non-discount price of the product, times x.

これらの文字は、好きなように定義できます。

And you could have defined these letters any way you wanted.

yを書く代わりに

Instead of writing y there, you could

ギリシャ文字を使用することもできます。

have written a Greek letter, or you

シンボルが割引の値であることを

could have written any symbol there.

覚えている限り、何のシンボルでもいいです。

As long as you can keep track of it,

面白くなってきました。

that symbol represents the actual dollar discount.

このような関係を

But now things get really interesting.

等式といい

Because we can use this type of a relationship, which

yと、こっちの右が等しい。

is an equation-- you're equating y

それで、等式と呼びます。

to this right over here, that's why we call it an equation--

これは、

this can be used for things that are completely

店での割引などに全く関係していない問題にもs

unrelated to the price, the discount price,

使用できます。

at the store over here.

たとえば、

So in physics, you'll see that force

物理で

is equal to mass times acceleration.

力は、質量x加速である。

The letters are different, but these are fundamentally

文字は違いますが

the same idea.

基礎的な考えは同じです。

We could've let y is equal to force, and mass is equal to p.

yを、力とし

So let me write p is equal to mass.

mは　質量、　または　pは質量で、

And this wouldn't be an intuitive way to define it,

p＝質量と書きましょう。

but I want to show you that this is

これは、直間的な定義ではないね。

the same idea, the same relationship,

ここでは、同一の式が

but it's being applied to two completely different things.

ことなった問題に応用されるのを示しています。

And we could say x is equal to acceleration.

xは加速とします。

Well, then the famous force is equal to mass times

xは加速です。

acceleration can be rewritten.

これで、有名な、”力＝質量x加速”が

And it's really the same exact idea

書かれ、

as y, which we've defined as force,

yは、ここでは力とします。これは

can be equal to mass, which we're

質量、つまり

going to use the symbol p, which is

このシンボルのpに

equal to p times acceleration.

加速を掛けたものです。

And we're just going to happen to use the letter x here,

たまたま、xのシンボルをここで使ったので、

times x.

かけるxです。

Well, this is the exact same equation.

これは、全く同一の等式です。

This is the exact same equation.

同一の等式です。

And we could see that we can take this equation,

この式を利用し、

and it can apply to things in economics,

経済学に応用でき

or it can apply to things in finance,

また、経営学や

or it can apply to things in computer science, or logic,

コンピューターサイエンスや

or electrical engineering, or anything, accounting.

論理学、電気工学や、

There's an infinite number of applications

何にでも応用できます。

of this one equation.

この１つの等式には

And what's neat about mathematics

無限の応用があります。

and what's neat about algebra in particular

数学の面白い点、

is we can focus on this abstraction.

特に代数学の面白い点は、

We can focus on the abstract here,

この抽象への焦点です。

and we can manipulate the abstract here.

ここでは、抽象化に注目をおき、

And what we discover from these ideas,

この抽象的なものを取り扱い

from these manipulations, can then

これらの考えを見つけ

go and be reapplied to all of these other applications,

非常に数多くのことに再応用できることを

to all of them.

発見しました。

And even neater, it's kind of telling us

さらに、これが

the true structure of the universe

宇宙の実の構造を教えてくれます。

if you were to strip away all of these human definitions

すべての人による定義や

and all of these human applications.

応用を取り除けば、

So for example, we could say, look, if y is equal to p times

例えば、

x-- so literally, if someone said, hey, this is y,

y＝p＊x

and someone says, on the other hand, I have p times x,

もし誰かが

I could say, well, you have the same thing in both

”これは、yだよ”、と言い

of your hands.

別の人がt　”p＊xだ”と言えば、

And if you were to divide one of them by a number,

僕は、”両方とも同じだよ”と言えます。

and if you wanted them to still be equal,

もし、どれかを数字で割り、

you would divide the other one by that number.

かつ、等式を維持したい場合は

So for example, we know that y is equal to p times x.

他の側も同じ数字で割ればいいです。

Well, what if you wanted to have them both be equal?

例えば、

And you say, well, what is y divided

y＝p＊xがあるとします。

by x going to be equal to?

等式を維持したい場合は

Well, y was equal to p times x, so y divided

yをxで割ったものは何になるか？

by x is going to be the same thing as p

yは　p＊xと等しかったので、

times x divided by x.

yをxで割ると

But now this is interesting.

p＊xもxで割ります。

Because p times x divided by x-- well,

いいですか？

if you multiply by something and then divide by that something,

p＊xをxで割ると

it's just you're going to get your original number.

何かを同じ数で

If you multiply by 5 and divide by 5,

割ってかけると

you're just going to start with p or whatever this number is.

元の数字に戻ります。

So those would cancel out.

５でかけて、５で割ると

But we were able to manipulate the abstraction here and get y

pに戻ります。

over x is equal to p-- and let me make that x green.

使われる数字には関わりません。

And now this has implications for every one of these ideas.

これらは打ち消されます。

One is telling us a fundamental truth

ここで、抽象なものを扱うことができ

about the universe, almost devoid

y／x＝pが得られます。

of any of these applications.

xを緑にして

But now we can go and take them back to any place

y／x＝p

that we applied.

これは

And the really interesting thing is

これらのすべての考えに適応されます。

we're going to find there are an infinite number

つまり、宇宙の基礎の事実は

of applications, and we don't even

これらの応用に関わらず、

know, frankly, most of them.

これは、いかなる所でも

We're going to discover new ones for them in a thousand years.

応用が可能です。

And so hopefully this gives you a sense

興味深いことは、応用できるものが

for why Galileo said what he said about really

無限の可能性で

mathematics is really the language with which we can

まだ、考えたこともないような応用が これから発見できることです。

understand the philosophy of the universe.

新しいものを

And that's why people tell us that if a completely alien life

何千年も発見して行くでしょう。

form were to ever contact humans,

これで

mathematics would probably be our first common ground,

ガリレオが数学が真の言語であると言ったことが

the place that we can start to form a basis that we

理解できましたか？

can start to communicate from.

宇宙の哲学を学ぶための言語です。