Birthday can be a really hard word  for my students, let's break it down.  

誕生日は、私の生徒にとって本当に難しい言葉です。

B consonant, that's pretty easy but the  /ɜɹ/ vowel, that can be tricky. Bir,  

Bの子音は簡単ですが、/ɜɹ/の母音は難しいですね。Bir,

just make the r sound. Don't  try to make a vowel. B-ir, Bir, 

rの音を出すだけです。母音を作ろうとしないでください。B-ir, Bir,

Brrrr! Bir,  

Brrrr!バーです。

birth. And we have the unvoiced th,  

の誕生です。そして、声にならないTHがあります。

your tongue tip has to peek just through but don't  hold it, don't clench. Let the air flow freely. 

舌先が覗くようにしますが、押さえつけたり、握りしめたりしてはいけません。空気が自由に流れるようにします。

th-, birth, birth. Birthday. 

th-、birth、birth。誕生日です。

And day is not the problem  part of that word. Birth-day. 

そして、その言葉の問題部分はdayではありません。誕生日。

Birthday.

誕生日。

Happy Birthday.

お誕生日おめでとうございます。