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  • Before we get into the meat of algebra,

    代数の勉強を始める前に

  • I wanted to give you a quote from one of the greatest

    偉大な哲学者の言葉を

  • minds in human history, Galileo Galilei, because I think

    引用しましょう。

  • this quote encapsulates the true point of algebra

    ガリレオの言葉に

  • and really mathematics in general.

    代数、実際は数学の根本がとらえられていると思います。

  • He said, "Philosophy is written in that great book which ever

    彼の言うには、哲学は目前の

  • lies before our eyes-- I mean the universe--

    本に書かれている、

  • but we cannot understand it if we do not first learn

    これ本は宇宙を意味します。

  • the language and grasp the symbols in which is written.

    しかし、私たちには完全に理解できない。

  • This book is written in the mathematical language,

    まず、言葉を習わなければ

  • without which one wanders in vain through a dark labyrinth."

    書かれていることを理解することはない。

  • So very dramatic, but very deep.

    この本は数学の言語で書かれてい、

  • And this really is the point of mathematics.

    この本なしでは、深い迷路に迷い込んだようなものです。

  • And what we'll see as we start getting deeper and deeper

    ちょっと、凝ったかな。

  • into algebra is that we're going to start abstracting things,

    でも、これが数学の意味です。

  • and we're going to start getting to core ideas that

    代数を始め

  • start explaining really how the universe is structured.

    だんだん、習ううちに

  • Sure, these ideas can be applied to things like economics

    抽象的な観念を使用するようになり

  • and finance and physics and chemistry.

    宇宙の創設を説明するような

  • But at their core, they're the same idea,

    根本的な概念に近づいて行きます。

  • and so they're even more fundamental, more pure,

    この概念は、

  • than any one of those applications.

    経済や物理、化学にも応用でき、

  • And to see what I mean by getting down to the root idea,

    その根本は同一のものです。

  • let's go with a-- I guess we started with the very grand,

    つまり、このような応用学に比べ

  • the philosophy of the universe is

    数学はより基礎的な、純粋なものです。

  • written in mathematics-- but let's start

    基礎の概念に近づくと、この意味が分かる様になるでしょう。

  • with a very concrete, simple idea.

    では、まず

  • But we'll keep abstracting, and we'll

    数学で表現された

  • see how the same idea connects across many domains

    宇宙の偉大な哲学から始めましょう。

  • in our universe.

    最初は、しっかりした簡素な考えから始めます。

  • So let's just say we're at the store,

    そこから、同一の考えが宇宙の他の分野に

  • and we're going to buy something.

    連結するか見て行きます。

  • And there is a sale.

    お店に行って

  • The sale says that it is 30% percent off,

    そこで売られている何かを買うとします。

  • and I'm interested.

    30%割引のセールをしています。

  • I don't shop at too fancy a store.

    僕は、あまり高級な店では、買い物をしないから。

  • So let's say I'm interested in a pair of pants.

    ズボンを買いましょう。

  • And the pair of pants before the sale even is about $20.

    ズボンは、セール前の値段は、$20です。

  • And that is about how much I spend on my pants.

    僕のズボンはいつもこのくらいです。

  • So I'm interested in a $20 pair of pants.

    $20くらいのズボンを買うつもりですが、

  • But it's even better, there's a 30% off sale on these pants.

    このズボンは30%オフの買い得です。

  • Well, how would I think about how much

    $20から、いくら値引きされるでしょうか?

  • I'm going to get off of that $20?

    これは、代数の問題ではありません。

  • And this isn't algebra yet.

    以前に習った問題です。

  • This is something that you've probably had exposure to.

    $20に30%を掛けます。

  • You would multiply the 30% times the $20.

    それが、割引の値です。

  • So you would say your discount is equal

    30%x$20と書きましょう。

  • to-- you could write it as 30% times $20.

    $20を紫で書きます。

  • I'll do the $20 in purple.

    または、書き換えて

  • Or you could write it, if you wanted to write this

    0.30 x 20とも書けます。

  • as a decimal, you could write this as 0.30 times $20.

    この計算をすれば、

  • And if you were to do the math, you would get $6.

    答えは $6です。

  • So nothing new over there.

    ここでは、新しいことは習っていません。

  • But what if I want to generalize it a little bit?

    でも、これを一般化するにはどうすればいいでしょう?

  • That's the discount on this particular pair of pants.

    これは、このズボンの割引ですが、

  • But what if I wanted to know the discount on anything

    お店の他の品の割引は

  • in the store?

    どのように計算できるでしょう?

  • Well, then I could say, well, let

    さあ、値段をxとしましょう。

  • x be the price-- let me do this in a different color.

    色を変えますね。

  • So I'm just going to make a symbol.

    シンボルを作ります。

  • Let x be the price of the product

    xは、買う品の値段です。

  • I want to buy, price, the non-discount price

    これは、割引前の値です。

  • of the product in the store.

    そこで、

  • So now, all of a sudden, we can say

    30%の割引で、 30%*Xです。

  • that our discount is equal to 30% times x.

    小数で書けば、

  • Or if we wanted to write it as a decimal,

    30%の小数は

  • if we wanted to write 30% as a decimal,

    0.30 * X となります。

  • we could write 0.30 times x.

    いいですか?

  • Now, this is interesting.

    お店の中のどれかの品の値段を、選び

  • Now you give me the price of any product in the store,

    これを、xと置き換えます。

  • and I can substitute it in for x.

    基本的に、0.3倍して

  • And then I can essentially multiply 0.3 times that,

    割引の値段がでます。

  • and I would get the discount.

    ゆっくりと

  • So now we're starting to, very slowly,

    代数の概念に入って行きます。

  • we're starting to get into the abstraction of algebra.

    だんだんと、意味深く

  • And we'll see that these will get much more nuanced and deep

    面白くなって行きますよ。

  • and, frankly, more beautiful as we

    代数の勉強に入って行きますね。

  • start studying more and more kind of algebraic ideas.

    ここで終わりではありません。

  • But we aren't done here.

    これをもっと抽象的にできます。

  • We can abstract this even more.

    ここでは、

  • Over here, we've said we've generalized

    商品を一般化しましたね。

  • this for any product.

    単に$20の品とは言っていません。

  • We're not just saying for this $20 product.

    もし $10ならば、

  • If there's a $10 product, we can put that $10 product in here

    このxに$10を置き換え

  • for x.

    10を0.3倍します。

  • And then we would say 0.30 times 10,

    つまり、割引は$3です。

  • and the discount would be $3.

    $100の商品では

  • It might be $100 product, then the discount would be $30.

    割引は $30です。

  • But let's generalize even more.

    もっと一般化してみましょう。

  • Let's say, well, what is the discount for any given

    では、特定の品の割引の率はなんでしょう。

  • sale when the sale is a certain percentage?

    セールの率が特定の場合です。

  • So now we can say that the discount--

    ここでは、割引を

  • let me define a variable.

    変数を設定し

  • So let's let m equal-- or I'll say p just so it makes sense.

    m=ではなく、 pとしましょう。

  • p is equal to the percentage off.

    pは割引です。

  • Now what can we do?

    どうしましょう?

  • Well, now we can say that the discount

    割引は

  • is equal to the percentage off.

    割引のパーセントと同じとできます。

  • In these other examples, we were picking 30%.

    前の例では、30%でしたが、

  • But we can say now it's p.

    ここでは、p%オフです。

  • It's the percentage off.

    pです。

  • It's p.

    パーセントオフと商品の割引前の値段を掛けると

  • That's the percentage off times the product in question,

    商品の割引前の値段を掛けます。

  • times the price, the non-discount price

    これは、商品の値段はxでしたね。

  • of the product in question.

    割引は、 p*xとなります。

  • Well, that was x.

    面白くなってきましたね。

  • The discount is equal to p times x.

    これで、任意の割引での、商品、xの割引が

  • Now, this is really interesting.

    計算できます。

  • Now we have a general way of calculating

    言葉や、文字を使用しなくでもできます。

  • a discount for any given percentage off and any given

    yを割引にしようとすることもできます。

  • product x.

    yが割引きの値です。

  • And we didn't have to use these words and these letters.

    同様にして

  • We could have said let y equal the discount.

    yは

  • Then we could have written the same underlying idea.

    パーセントオフのpと

  • Instead of writing discount, we could

    元の値段xを掛けたものと

  • have written y is equal to the percentage off p times

    同じであると書けます。

  • the non-discount price of the product, times x.

    これらの文字は、好きなように定義できます。

  • And you could have defined these letters any way you wanted.

    yを書く代わりに

  • Instead of writing y there, you could

    ギリシャ文字を使用することもできます。

  • have written a Greek letter, or you

    シンボルが割引の値であることを

  • could have written any symbol there.

    覚えている限り、何のシンボルでもいいです。

  • As long as you can keep track of it,

    面白くなってきました。

  • that symbol represents the actual dollar discount.

    このような関係を

  • But now things get really interesting.

    等式といい

  • Because we can use this type of a relationship, which

    yと、こっちの右が等しい。

  • is an equation-- you're equating y

    それで、等式と呼びます。

  • to this right over here, that's why we call it an equation--

    これは、

  • this can be used for things that are completely

    店での割引などに全く関係していない問題にもs

  • unrelated to the price, the discount price,

    使用できます。

  • at the store over here.

    たとえば、

  • So in physics, you'll see that force

    物理で

  • is equal to mass times acceleration.

    力は、質量x加速である。

  • The letters are different, but these are fundamentally

    文字は違いますが

  • the same idea.

    基礎的な考えは同じです。

  • We could've let y is equal to force, and mass is equal to p.

    yを、力とし

  • So let me write p is equal to mass.

    mは 質量、 または pは質量で、

  • And this wouldn't be an intuitive way to define it,

    p=質量と書きましょう。

  • but I want to show you that this is

    これは、直間的な定義ではないね。

  • the same idea, the same relationship,

    ここでは、同一の式が

  • but it's being applied to two completely different things.

    ことなった問題に応用されるのを示しています。

  • And we could say x is equal to acceleration.

    xは加速とします。

  • Well, then the famous force is equal to mass times

    xは加速です。

  • acceleration can be rewritten.

    これで、有名な、”力=質量x加速”が

  • And it's really the same exact idea

    書かれ、

  • as y, which we've defined as force,

    yは、ここでは力とします。これは

  • can be equal to mass, which we're

    質量、つまり

  • going to use the symbol p, which is

    このシンボルのpに

  • equal to p times acceleration.

    加速を掛けたものです。

  • And we're just going to happen to use the letter x here,

    たまたま、xのシンボルをここで使ったので、

  • times x.

    かけるxです。

  • Well, this is the exact same equation.

    これは、全く同一の等式です。

  • This is the exact same equation.

    同一の等式です。

  • And we could see that we can take this equation,

    この式を利用し、

  • and it can apply to things in economics,

    経済学に応用でき

  • or it can apply to things in finance,

    また、経営学や

  • or it can apply to things in computer science, or logic,

    コンピューターサイエンスや

  • or electrical engineering, or anything, accounting.

    論理学、電気工学や、

  • There's an infinite number of applications

    何にでも応用できます。

  • of this one equation.

    この1つの等式には

  • And what's neat about mathematics

    無限の応用があります。

  • and what's neat about algebra in particular

    数学の面白い点、

  • is we can focus on this abstraction.

    特に代数学の面白い点は、

  • We can focus on the abstract here,

    この抽象への焦点です。

  • and we can manipulate the abstract here.

    ここでは、抽象化に注目をおき、

  • And what we discover from these ideas,

    この抽象的なものを取り扱い

  • from these manipulations, can then

    これらの考えを見つけ

  • go and be reapplied to all of these other applications,

    非常に数多くのことに再応用できることを

  • to all of them.

    発見しました。

  • And even neater, it's kind of telling us

    さらに、これが

  • the true structure of the universe

    宇宙の実の構造を教えてくれます。

  • if you were to strip away all of these human definitions

    すべての人による定義や

  • and all of these human applications.

    応用を取り除けば、

  • So for example, we could say, look, if y is equal to p times

    例えば、

  • x-- so literally, if someone said, hey, this is y,

    y=p*x

  • and someone says, on the other hand, I have p times x,

    もし誰かが

  • I could say, well, you have the same thing in both

    ”これは、yだよ”、と言い

  • of your hands.

    別の人がt ”p*xだ”と言えば、

  • And if you were to divide one of them by a number,

    僕は、”両方とも同じだよ”と言えます。

  • and if you wanted them to still be equal,

    もし、どれかを数字で割り、

  • you would divide the other one by that number.

    かつ、等式を維持したい場合は

  • So for example, we know that y is equal to p times x.

    他の側も同じ数字で割ればいいです。

  • Well, what if you wanted to have them both be equal?

    例えば、

  • And you say, well, what is y divided

    y=p*xがあるとします。

  • by x going to be equal to?

    等式を維持したい場合は

  • Well, y was equal to p times x, so y divided

    yをxで割ったものは何になるか?

  • by x is going to be the same thing as p

    yは p*xと等しかったので、

  • times x divided by x.

    yをxで割ると

  • But now this is interesting.

    p*xもxで割ります。

  • Because p times x divided by x-- well,

    いいですか?

  • if you multiply by something and then divide by that something,

    p*xをxで割ると

  • it's just you're going to get your original number.

    何かを同じ数で

  • If you multiply by 5 and divide by 5,

    割ってかけると

  • you're just going to start with p or whatever this number is.

    元の数字に戻ります。

  • So those would cancel out.

    5でかけて、5で割ると

  • But we were able to manipulate the abstraction here and get y

    pに戻ります。

  • over x is equal to p-- and let me make that x green.

    使われる数字には関わりません。

  • And now this has implications for every one of these ideas.

    これらは打ち消されます。

  • One is telling us a fundamental truth

    ここで、抽象なものを扱うことができ

  • about the universe, almost devoid

    y/x=pが得られます。

  • of any of these applications.

    xを緑にして

  • But now we can go and take them back to any place

    y/x=p

  • that we applied.

    これは

  • And the really interesting thing is

    これらのすべての考えに適応されます。

  • we're going to find there are an infinite number

    つまり、宇宙の基礎の事実は

  • of applications, and we don't even

    これらの応用に関わらず、

  • know, frankly, most of them.

    これは、いかなる所でも

  • We're going to discover new ones for them in a thousand years.

    応用が可能です。

  • And so hopefully this gives you a sense

    興味深いことは、応用できるものが

  • for why Galileo said what he said about really

    無限の可能性で

  • mathematics is really the language with which we can

    まだ、考えたこともないような応用が これから発見できることです。

  • understand the philosophy of the universe.

    新しいものを

  • And that's why people tell us that if a completely alien life

    何千年も発見して行くでしょう。

  • form were to ever contact humans,

    これで

  • mathematics would probably be our first common ground,

    ガリレオが数学が真の言語であると言ったことが

  • the place that we can start to form a basis that we

    理解できましたか?

  • can start to communicate from.

    宇宙の哲学を学ぶための言語です。

Before we get into the meat of algebra,

代数の勉強を始める前に

字幕と単語

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A2 初級 日本語 割引 値段 数学 ズボン 質量 抽象

代数学の美学|代数学入門|代数学Ⅰ|カーンアカデミー (The beauty of algebra | Introduction to algebra | Algebra I | Khan Academy)

  • 20 1
    ciel3691 に公開 2021 年 01 月 14 日
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