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  • On the 30th of May, 1832,

    1832年5月30日

  • a gunshot was heard

    一発の銃声が

  • ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

    パリ13区に響きました

  • (Gunshot)

    (銃声)

  • A peasant, who was walking to market that morning,

    朝市に来ていた農民が

  • ran towards where the gunshot had come from,

    銃声のした方へ行くと

  • and found a young man writhing in agony on the floor,

    青年がもがき苦しんでいました

  • clearly shot by a dueling wound.

    決闘で撃たれたのです

  • The young man's name was Evariste Galois.

    撃たれた青年の名はエヴァリスト・ガロア

  • He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

    当時は良く知られたパリの革命家でした

  • Galois was taken to the local hospital

    ガロアは地元の病院で

  • where he died the next day in the arms of his brother.

    弟アルフレッドに看取られ亡くなりました

  • And the last words he said to his brother were,

    弟へ残した最後の言葉はこうです

  • "Don't cry for me, Alfred.

    「アルフレッド 泣かないでくれ

  • I need all the courage I can muster

    20歳で死ぬには

  • to die at the age of 20."

    相当の勇気がいるのだから」

  • It wasn't, in fact, revolutionary politics

    現代 ガロアが有名なのは

  • for which Galois was famous.

    革命活動ではありません

  • But a few years earlier, while still at school,

    その数年前 まだ学生のときに

  • he'd actually cracked one of the big mathematical

    彼は当時の数学の最大の謎のひとつを

  • problems at the time.

    解明したのです

  • And he wrote to the academicians in Paris,

    この理論を説明した論文を

  • trying to explain his theory.

    パリ科学アカデミーに提出しましたが

  • But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

    アカデミーのメンバーは 書かれた内容が 理解できませんでした

  • (Laughter)

    (笑)

  • This is how he wrote most of his mathematics.

    これが彼が数学を記述する流儀でした

  • So, the night before that duel, he realized

    決闘の前夜に

  • this possibly is his last chance

    これが最後のチャンスだと思い

  • to try and explain his great breakthrough.

    彼の偉大な業績を書き残そうとしました

  • So he stayed up the whole night, writing away,

    一晩中起きて書き続け 彼のアイディアを

  • trying to explain his ideas.

    残そうとしました

  • And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

    そして夜が明けて 彼は運命の時を迎えたのです

  • he left this pile of papers on the table for the next generation.

    机の上には 紙の山が残されていました

  • Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

    もしかしたら 徹夜して数学をしていたのが

  • was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

    決闘で負けてしまった理由かも知れません

  • But contained inside those documents

    彼が書き残した書類には

  • was a new language, a language to understand

    科学の根底にある概念を理解するための

  • one of the most fundamental concepts

    新しい言語が記されていました

  • of science -- namely symmetry.

    その概念とは 対称性です

  • Now, symmetry is almost nature's language.

    対称性は 自然界の言語とも言えます

  • It helps us to understand so many

    非常に多岐にわたる科学的なことを

  • different bits of the scientific world.

    理解する助けとなります

  • For example, molecular structure.

    たとえば分子構造では

  • What crystals are possible,

    どんな結晶構造がありえるのか

  • we can understand through the mathematics of symmetry.

    対称性の数学を通して理解できます

  • In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

    微生物学では 対称的な物体は

  • because they are generally rather nasty.

    大抵やっかいなものです

  • The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

    豚インフルエンザのウイルスは

  • And it uses the efficiency of symmetry

    対称性が効率的であることを利用して

  • to be able to propagate itself so well.

    高い感染力をもっています

  • But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

    より大きなスケールの生物学では 遺伝子情報の伝達が

  • because it actually communicates genetic information.

    対称性によって実現されています

  • I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

    二枚の写真と それを左右対称に 加工したものがあります

  • And if I ask you which of these you find more beautiful,

    どちらが美しいと感じるでしょうか

  • you're probably drawn to the lower two.

    おそらく 下の二枚でしょう

  • Because it is hard to make symmetry.

    対称を作るのは困難なので

  • And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

    あなたの体が左右対称ならば

  • that you've got good genes, you've got a good upbringing

    よい遺伝子を持ち 健康に育った

  • and therefore you'll make a good mate.

    良い結婚相手だという証になります

  • So symmetry is a language which can help to communicate

    つまり対称性は 遺伝情報の伝達に役立つ

  • genetic information.

    言語なのです

  • Symmetry can also help us to explain

    CERNの大型ハドロン衝突型加速器の中で

  • what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

    何が起きているのかを説明するにも役に立ちます

  • Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

    あるいは 何が起きていないのかを...

  • To be able to make predictions about the fundamental particles

    見つかるかもしれない素粒子を

  • we might see there,

    予測する助けにもなります

  • it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

    素粒子は全て 高次元空間にある対称形の

  • in a higher dimensional space.

    色々な「断面」である可能性があります

  • And I think Galileo summed up, very nicely,

    身の回りの科学的な世界を理解するのに

  • the power of mathematics

    数学がどれほど強力なのか

  • to understand the scientific world around us.

    ガリレオがうまく表現しています

  • He wrote, "The universe cannot be read

    「宇宙という壮大な書物は

  • until we have learnt the language

    それを記述している言葉を学び

  • and become familiar with the characters in which it is written.

    その文字に親しまなければ解読できない

  • It is written in mathematical language,

    それは数学という言葉で書かれていて

  • and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

    その文字は三角、円、その他の幾何学的図形であり

  • without which means it is humanly impossible

    それらを知らなければ

  • to comprehend a single word."

    一言も理解できない」

  • But it's not just scientists who are interested in symmetry.

    しかし 対称性に興味を持つのは 科学者だけではありません

  • Artists too love to play around with symmetry.

    芸術家も対称性を愛しています

  • They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

    彼らは すこし違った視点を持っています

  • Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

    小説「魔の山」の中でトーマス・マンは

  • He has a character describing the snowflake,

    雪の結晶について登場人物にこう語らせています

  • and he says he "shuddered at its perfect precision,

    「ぞっとするほどの完璧さで

  • found it deathly, the very marrow of death."

    死の核心に思えた」

  • But what artists like to do is to set up expectations

    しかし 芸術家は対称性を暗示して

  • of symmetry and then break them.

    それをわざと壊したがるものです

  • And a beautiful example of this

    日本を訪れたときに

  • I found, actually, when I visited a colleague of mine

    研究仲間の黒川教授のところへ行ったとき

  • in Japan, Professor Kurokawa.

    とても良い例に出会いました

  • And he took me up to the temples in Nikko.

    彼は日光東照宮へ連れて行ってくれました

  • And just after this photo was taken we walked up the stairs.

    これは階段を登ったすぐの場所で撮った写真で

  • And the gateway you see behind

    背後に門が見えます

  • has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

    門には美しい対称形の柱が8本あります

  • Seven of them are exactly the same,

    そのうち7本はまったく同じですが

  • and the eighth one is turned upside down.

    一本だけが上下逆になっています

  • And I said to Professor Kurokawa,

    「これをつくった建築家は

  • "Wow, the architects must have really been kicking themselves

    こいつを間違えて逆さまにしたって気付いた時に

  • when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

    しまった! と思っただろうねぇ」と私が言うと

  • And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

    教授は「いやいや、これはわざとなんだよ」と答えました

  • And he referred me to this lovely quote from the Japanese

    そして 日本の古典「徒然草」からの

  • "Essays in Idleness" from the 14th century,

    素敵な一節を教えてくれたのです

  • in which the essayist wrote, "In everything,

    「何でも全部が

  • uniformity is undesirable.

    完全に整っているのはよくない

  • Leaving something incomplete makes it interesting,

    やり残したことを そのままにしておくのが面白く

  • and gives one the feeling that there is room for growth."

    先に楽しみを残すことにもなる」

  • Even when building the Imperial Palace,

    皇居を建てるときにすら

  • they always leave one place unfinished.

    常に一箇所 未完成の場所を残します

  • But if I had to choose one building in the world

    でも私がもし建物をひとつ選んで

  • to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

    その中で一生を暮らすならば

  • being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

    「対称性中毒」の私なら アルハンブラ宮殿を選びます

  • This is a palace celebrating symmetry.

    この宮殿は対称性の極致です

  • Recently I took my family --

    私はよく家族と

  • we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

    数学オタク的な旅行をするのですが

  • This is my son Tamer. You can see

    これは私の息子 タマーです

  • he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

    「数学的」な旅行を とても楽しんでいるようですね

  • But I wanted to try and enrich him.

    しかし もっと息子に見せたいものがありました

  • I think one of the problems about school mathematics

    学校の数学の授業では

  • is it doesn't look at how mathematics is embedded

    現実の世界にどう数学が関わっているのか

  • in the world we live in.

    教えてくれません

  • So, I wanted to open his eyes up to

    ですから アルハンブラ宮殿の対称性を

  • how much symmetry is running through the Alhambra.

    私は息子に見せたかったのです

  • You see it already. Immediately you go in,

    宮殿に入ってすぐにわかるのは

  • the reflective symmetry in the water.

    水に映し出された対称性です

  • But it's on the walls where all the exciting things are happening.

    でも 特にすばらしいのは ここの壁です

  • The Moorish artists were denied the possibility

    ムーア人の芸術家たちは 偶像を描くことを

  • to draw things with souls.

    禁止されていました

  • So they explored a more geometric art.

    ですから彼らは 幾何的な芸術を追求しました

  • And so what is symmetry?

    では 対称性とは何でしょう?

  • The Alhambra somehow asks all of these questions.

    アルハンブラに行くと 次々と質問が頭に浮かびます

  • What is symmetry? When [there] are two of these walls,

    対称性とは何か? 2つの模様の対称性が

  • do they have the same symmetries?

    同じだと言えるのは どんな時か?

  • Can we say whether they discovered

    ムーア人は 可能な対称性の型を全て

  • all of the symmetries in the Alhambra?

    アハンブラ宮殿に残したのでしょうか

  • And it was Galois who produced a language

    ガロアは まさにこの疑問に答えるための

  • to be able to answer some of these questions.

    言語を作り出したのです

  • For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

    トーマス・マンにとって対称とは

  • which was something still and deathly --

    死であり 静止したものでしたが

  • for Galois, symmetry was all about motion.

    ガロアにとって対称性は動きでした

  • What can you do to a symmetrical object,

    対称的な図形を動かして

  • move it in some way, so it looks the same

    元の状態と同じに見えるようにするには

  • as before you moved it?

    何ができるでしょう

  • I like to describe it as the magic trick moves.

    手品の動きに例えて説明しましょう

  • What can you do to something? You close your eyes.

    みなさんが目を閉じている間に

  • I do something, put it back down again.

    こっそりと動かして もとの場所に戻すと

  • It looks like it did before it started.

    最初の状態と同じに見えるのは どんな動かし方でしょう?

  • So, for example, the walls in the Alhambra --

    たとえばアルハンブラの壁のタイルなら

  • I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

    黄色の点の位置を軸にして

  • rotate them by 90 degrees,

    90°回転すると

  • put them all back down again and they fit perfectly down there.

    完全にもとの模様と一致します

  • And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

    閉じていた目を開けても 動かされたと気付きません

  • But it's the motion that really characterizes the symmetry

    しかし この動きこそがアルハンブラ宮殿の対称性を

  • inside the Alhambra.

    特徴付けるのです

  • But it's also about producing a language to describe this.

    同時に対称性を記述する言語にも繋がります

  • And the power of mathematics is often

    数学は あるものを別のものに変換することで

  • to change one thing into another, to change geometry into language.

    力を発揮します ここでは「幾何学」を「言語」に変換します

  • So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

    ここから 数学的に少し踏み込んだお話をしましょう

  • so brace yourselves --

    心の準備はいいですか?

  • push you a little bit to understand how this language works,

    少し踏み込んで この言語がどうやって

  • which enables us to capture what is symmetry.

    対称とは何かを捉えるか説明しましょう

  • So, let's take these two symmetrical objects here.

    ふたつの対称的な図形があるとしましょう

  • Let's take the twisted six-pointed starfish.

    少しねじれた ヒトデ型の図形です

  • What can I do to the starfish which makes it look the same?

    どう動かすと 元と同じに見えるでしょうか

  • Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

    そう 1/6回転させれば

  • and still it looks like it did before I started.

    元と同じように見えます

  • I could rotate it by a third of a turn,

    1/3回転でもいいですし

  • or a half a turn,

    半回転でも

  • or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

    もしくは2/3回転でもいいですし

  • And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

    5番目の対称性として 5/6回転でも良いでしょう

  • And those are things that I can do to the symmetrical object

    対称図形を動かして元と同じに見えるようにするために

  • that make it look like it did before I started.

    このような操作をすることができます

  • Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

    実はガロアにとって 6番目の対称性がありました

  • Can anybody think what else I could do to this

    図形が元と同じに見えるようになる

  • which would leave it like I did before I started?

    操作方法は他にあるでしょうか?

  • I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

    突起が少しひねれているので 裏返しにはできません

  • It's got no reflective symmetry.

    反射(鏡映)対称性はないのです

  • But what I could do is just leave it where it is,

    でも 動かさないでおくことはできます

  • pick it up, and put it down again.

    持ち上げて そのまま戻す

  • And for Galois this was like the zeroth symmetry.

    ガロアにとっては これがゼロ番目の対称性でした

  • Actually, the invention of the number zero

    実際 ゼロという概念の発明はつい最近で

  • was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

    紀元前7世紀のインド人によるものです

  • It seems mad to talk about nothing.

    「何もない」ということを数えるのも変ですが

  • And this is the same idea. This is a symmetrical --

    このゼロ番目の対称性も 同じアイデアなのです

  • so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

    どんなものにも「そのまま動かさない」 という対称性があります

  • So, this object has six symmetries.

    この図形の場合は6種類の対称性があります

  • And what about the triangle?

    三角形の場合はどうでしょう

  • Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

    時計周りに1/3回転させるか

  • or a third of a turn anticlockwise.

    反時計周りに1/3回転させられます

  • But now this has some reflectional symmetry.

    今度は反射(鏡映)対称なので

  • I can reflect it in the line through X,

    Xを通る線を軸に反転させるか

  • or the line through Y,

    Yを通る線か

  • or the line through Z.

    Zを通る線でも

  • Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

    5種類の対称性と それに加えて 「そのまま」の

  • where I just pick it up and leave it where it is.

    ゼロ番目の対称性があります

  • So both of these objects have six symmetries.

    2つの図形は両方とも6つの対称性があります

  • Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

    数学はスポーツ観戦とは違って

  • and you have to do some mathematics

    理解するためには

  • in order to really understand it.

    実際に計算をするべきです

  • So here is a little question for you.

    そこで簡単な質問をしましょう

  • And I'm going to give a prize at the end of my talk

    そして この講演の最後に

  • for the person who gets closest to the answer.

    正解に一番近かった人には 賞をあげます

  • The Rubik's Cube.

    ルービックキューブです

  • How many symmetries does a Rubik's Cube have?

    ルービックキューブには 対称性はいくつあるでしょう?

  • How many things can I do to this object

    この様に動かして

  • and put it down so it still looks like a cube?

    キューブの形を保つ操作はいくつあるでしょう

  • Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

    いいですか? これからしばらくの間

  • and count how many symmetries there are.

    いくつ対称性があるか 考えてみてください

  • And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

    そして 正解に最も近かった人に賞を差し上げます

  • But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

    それではまた 先程の2つの図形の話に戻りましょう

  • What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

    物体の対称性を特徴付けるのは

  • but how they interact with each other

    物体の持つ ひとつひとつの対称型ではなく

  • which really characterizes the symmetry of an object.

    それらの関連性だと ガロアは気付きました

  • If I do one magic trick move followed by another,

    もし複数の種類の操作を続けて行えば

  • the combination is a third magic trick move.

    この組み合わせは別の操作に相当します

  • And here we see Galois starting to develop

    これこそが ガロアが作り出した

  • a language to see the substance

    この物体の対称性にひそむ

  • of the things unseen, the sort of abstract idea

    抽象的なアイデアを理解するための

  • of the symmetry underlying this physical object.

    言語だったのです

  • For example, what if I turn the starfish

    例えば ヒトデ型を まず1/6回転させ

  • by a sixth of a turn,

    次に1/3回転したら

  • and then a third of a turn?

    どうなるでしょう?

  • So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

    説明のために 回転操作に名前を付ましょう

  • are the names for the rotations.

    A, B, C, D, E, Fです

  • B, for example, rotates the little yellow dot

    例えば B は 黄色の点が

  • to the B on the starfish. And so on.

    図形のbの点に合うよう回転させます

  • So what if I do B, which is a sixth of a turn,

    B つまり1/6回転の次に

  • followed by C, which is a third of a turn?

    C つまり1/3回転したら どうなりますか?

  • Well let's do that. A sixth of a turn,

    やってみましょう まず 1/6回転

  • followed by a third of a turn,

    続けて1/3回転

  • the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

    これらを足し合わせると 半回転になります

  • So the little table here records

    この表に記録されるのは

  • how the algebra of these symmetries work.

    これらの対称性の計算の結果です

  • I do one followed by another, the answer is

    1つ目の操作をして 続けて2番目の操作をすると

  • it's rotation D, half a turn.

    結果はDの回転 つまり1/2回転です

  • What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

    ではもし この順番を変えたら違いはあるでしょうか

  • Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

    まず1/3回転させて 次に1/6回転させます

  • Of course, it doesn't make any difference.

    当然 同じ結果になります

  • It still ends up at half a turn.

    つまり1/2回転します

  • And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.

    この操作の組み合わせにも対称性が見られます

  • But this is completely different to the symmetries of the triangle.

    三角形の場合は まったく違います

  • Let's see what happens if we do two symmetries

    二種類の対称的操作を続けて行うと

  • with the triangle, one after the other.

    三角形がどうなるか見てみましょう

  • Let's do a rotation by a third of a turn anticlockwise,

    反時計回りに1/3回転してから

  • and reflect in the line through X.

    Xを通る線で鏡像反転させます

  • Well, the combined effect is as if I had just done the reflection in the line through Z

    組み合わせた結果はZを通る軸で 鏡像反転させた場合と

  • to start with.

    同じです

  • Now, let's do it in a different order.

    今度は違う順番にしてみましょう

  • Let's do the reflection in X first,

    X軸での反転を先に行って