a gunshot was heard

一発の銃声が

ringing out across the 13th arrondissement in Paris.

パリ13区に響きました

(Gunshot)

(銃声)

A peasant, who was walking to market that morning,

朝市に来ていた農民が

ran towards where the gunshot had come from,

銃声のした方へ行くと

and found a young man writhing in agony on the floor,

青年がもがき苦しんでいました

clearly shot by a dueling wound.

決闘で撃たれたのです

The young man's name was Evariste Galois.

撃たれた青年の名はエヴァリスト・ガロア

He was a well-known revolutionary in Paris at the time.

当時は良く知られたパリの革命家でした

Galois was taken to the local hospital

ガロアは地元の病院で

where he died the next day in the arms of his brother.

弟アルフレッドに看取られ亡くなりました

And the last words he said to his brother were,

弟へ残した最後の言葉はこうです

"Don't cry for me, Alfred.

「アルフレッド 泣かないでくれ

I need all the courage I can muster

20歳で死ぬには

to die at the age of 20."

相当の勇気がいるのだから」

It wasn't, in fact, revolutionary politics

現代 ガロアが有名なのは

for which Galois was famous.

革命活動ではありません

But a few years earlier, while still at school,

その数年前 まだ学生のときに

he'd actually cracked one of the big mathematical

彼は当時の数学の最大の謎のひとつを

problems at the time.

解明したのです

And he wrote to the academicians in Paris,

この理論を説明した論文を

trying to explain his theory.

パリ科学アカデミーに提出しましたが

But the academicians couldn't understand anything that he wrote.

アカデミーのメンバーは 書かれた内容が 理解できませんでした

(Laughter)

(笑)

This is how he wrote most of his mathematics.

これが彼が数学を記述する流儀でした

So, the night before that duel, he realized

決闘の前夜に

this possibly is his last chance

これが最後のチャンスだと思い

to try and explain his great breakthrough.

彼の偉大な業績を書き残そうとしました

So he stayed up the whole night, writing away,

一晩中起きて書き続け 彼のアイディアを

trying to explain his ideas.

残そうとしました

And as the dawn came up and he went to meet his destiny,

そして夜が明けて 彼は運命の時を迎えたのです

he left this pile of papers on the table for the next generation.

机の上には 紙の山が残されていました

Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics

もしかしたら 徹夜して数学をしていたのが

was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.

決闘で負けてしまった理由かも知れません

But contained inside those documents

彼が書き残した書類には

was a new language, a language to understand

科学の根底にある概念を理解するための

one of the most fundamental concepts

新しい言語が記されていました

of science -- namely symmetry.

その概念とは 対称性です

Now, symmetry is almost nature's language.

対称性は 自然界の言語とも言えます

It helps us to understand so many

非常に多岐にわたる科学的なことを

different bits of the scientific world.

理解する助けとなります

For example, molecular structure.

たとえば分子構造では

What crystals are possible,

どんな結晶構造がありえるのか

we can understand through the mathematics of symmetry.

対称性の数学を通して理解できます

In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,

微生物学では 対称的な物体は

because they are generally rather nasty.

大抵やっかいなものです

The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.

豚インフルエンザのウイルスは

And it uses the efficiency of symmetry

対称性が効率的であることを利用して

to be able to propagate itself so well.

高い感染力をもっています

But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,

より大きなスケールの生物学では 遺伝子情報の伝達が

because it actually communicates genetic information.

対称性によって実現されています

I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.

二枚の写真と それを左右対称に 加工したものがあります

And if I ask you which of these you find more beautiful,

どちらが美しいと感じるでしょうか

you're probably drawn to the lower two.

おそらく 下の二枚でしょう

Because it is hard to make symmetry.

対称を作るのは困難なので

And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign

あなたの体が左右対称ならば

that you've got good genes, you've got a good upbringing

よい遺伝子を持ち 健康に育った

and therefore you'll make a good mate.

良い結婚相手だという証になります

So symmetry is a language which can help to communicate

つまり対称性は 遺伝情報の伝達に役立つ

genetic information.

言語なのです

Symmetry can also help us to explain

CERNの大型ハドロン衝突型加速器の中で

what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.

何が起きているのかを説明するにも役に立ちます

Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.

あるいは 何が起きていないのかを...

To be able to make predictions about the fundamental particles

見つかるかもしれない素粒子を

we might see there,

予測する助けにもなります

it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape

素粒子は全て 高次元空間にある対称形の

in a higher dimensional space.

色々な「断面」である可能性があります

And I think Galileo summed up, very nicely,

身の回りの科学的な世界を理解するのに

the power of mathematics

数学がどれほど強力なのか

to understand the scientific world around us.

ガリレオがうまく表現しています

He wrote, "The universe cannot be read

「宇宙という壮大な書物は

until we have learnt the language

それを記述している言葉を学び

and become familiar with the characters in which it is written.

その文字に親しまなければ解読できない

It is written in mathematical language,

それは数学という言葉で書かれていて

and the letters are triangles, circles and other geometric figures,

その文字は三角､円､その他の幾何学的図形であり

without which means it is humanly impossible

それらを知らなければ

to comprehend a single word."

一言も理解できない」

But it's not just scientists who are interested in symmetry.

しかし 対称性に興味を持つのは 科学者だけではありません

Artists too love to play around with symmetry.

芸術家も対称性を愛しています

They also have a slightly more ambiguous relationship with it.

彼らは すこし違った視点を持っています

Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."

小説「魔の山」の中でトーマス・マンは

He has a character describing the snowflake,

雪の結晶について登場人物にこう語らせています

and he says he "shuddered at its perfect precision,

「ぞっとするほどの完璧さで

found it deathly, the very marrow of death."

死の核心に思えた」

But what artists like to do is to set up expectations

しかし 芸術家は対称性を暗示して

of symmetry and then break them.

それをわざと壊したがるものです

And a beautiful example of this

日本を訪れたときに

I found, actually, when I visited a colleague of mine

研究仲間の黒川教授のところへ行ったとき

in Japan, Professor Kurokawa.

とても良い例に出会いました

And he took me up to the temples in Nikko.

彼は日光東照宮へ連れて行ってくれました

And just after this photo was taken we walked up the stairs.

これは階段を登ったすぐの場所で撮った写真で

And the gateway you see behind

背後に門が見えます

has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.

門には美しい対称形の柱が８本あります

Seven of them are exactly the same,

そのうち７本はまったく同じですが

and the eighth one is turned upside down.

一本だけが上下逆になっています

And I said to Professor Kurokawa,

「これをつくった建築家は

"Wow, the architects must have really been kicking themselves

こいつを間違えて逆さまにしたって気付いた時に

when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."

しまった! と思っただろうねぇ」と私が言うと

And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."

教授は「いやいや、これはわざとなんだよ」と答えました

And he referred me to this lovely quote from the Japanese

そして 日本の古典「徒然草」からの

"Essays in Idleness" from the 14th century,

素敵な一節を教えてくれたのです

in which the essayist wrote, "In everything,

「何でも全部が

uniformity is undesirable.

完全に整っているのはよくない

Leaving something incomplete makes it interesting,

やり残したことを そのままにしておくのが面白く

and gives one the feeling that there is room for growth."

先に楽しみを残すことにもなる」

Even when building the Imperial Palace,

皇居を建てるときにすら

they always leave one place unfinished.

常に一箇所 未完成の場所を残します

But if I had to choose one building in the world

でも私がもし建物をひとつ選んで

to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,

その中で一生を暮らすならば

being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.

「対称性中毒」の私なら アルハンブラ宮殿を選びます

This is a palace celebrating symmetry.

この宮殿は対称性の極致です

Recently I took my family --

私はよく家族と

we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.

数学オタク的な旅行をするのですが

This is my son Tamer. You can see

これは私の息子 タマーです

he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.

「数学的」な旅行を とても楽しんでいるようですね

But I wanted to try and enrich him.

しかし もっと息子に見せたいものがありました

I think one of the problems about school mathematics

学校の数学の授業では

is it doesn't look at how mathematics is embedded

現実の世界にどう数学が関わっているのか

in the world we live in.

教えてくれません

So, I wanted to open his eyes up to

ですから アルハンブラ宮殿の対称性を

how much symmetry is running through the Alhambra.

私は息子に見せたかったのです

You see it already. Immediately you go in,

宮殿に入ってすぐにわかるのは

the reflective symmetry in the water.

水に映し出された対称性です

But it's on the walls where all the exciting things are happening.

でも 特にすばらしいのは ここの壁です

The Moorish artists were denied the possibility

ムーア人の芸術家たちは 偶像を描くことを

to draw things with souls.

禁止されていました

So they explored a more geometric art.

ですから彼らは 幾何的な芸術を追求しました

And so what is symmetry?

では 対称性とは何でしょう?

The Alhambra somehow asks all of these questions.

アルハンブラに行くと 次々と質問が頭に浮かびます

What is symmetry? When [there] are two of these walls,

対称性とは何か？ 2つの模様の対称性が

do they have the same symmetries?

同じだと言えるのは どんな時か？

Can we say whether they discovered

ムーア人は 可能な対称性の型を全て

all of the symmetries in the Alhambra?

アハンブラ宮殿に残したのでしょうか

And it was Galois who produced a language

ガロアは まさにこの疑問に答えるための

to be able to answer some of these questions.

言語を作り出したのです

For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,

トーマス・マンにとって対称とは

which was something still and deathly --

死であり 静止したものでしたが

for Galois, symmetry was all about motion.

ガロアにとって対称性は動きでした

What can you do to a symmetrical object,

対称的な図形を動かして

move it in some way, so it looks the same

元の状態と同じに見えるようにするには

as before you moved it?

何ができるでしょう

I like to describe it as the magic trick moves.

手品の動きに例えて説明しましょう

What can you do to something? You close your eyes.

みなさんが目を閉じている間に

I do something, put it back down again.

こっそりと動かして もとの場所に戻すと

It looks like it did before it started.

最初の状態と同じに見えるのは どんな動かし方でしょう？

So, for example, the walls in the Alhambra --

たとえばアルハンブラの壁のタイルなら

I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,

黄色の点の位置を軸にして

rotate them by 90 degrees,

90°回転すると

put them all back down again and they fit perfectly down there.

完全にもとの模様と一致します

And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.

閉じていた目を開けても 動かされたと気付きません

But it's the motion that really characterizes the symmetry

しかし この動きこそがアルハンブラ宮殿の対称性を

inside the Alhambra.

特徴付けるのです

But it's also about producing a language to describe this.

同時に対称性を記述する言語にも繋がります

And the power of mathematics is often

数学は あるものを別のものに変換することで

to change one thing into another, to change geometry into language.

力を発揮します ここでは「幾何学」を「言語」に変換します

So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --

ここから 数学的に少し踏み込んだお話をしましょう

so brace yourselves --

心の準備はいいですか?

push you a little bit to understand how this language works,

少し踏み込んで この言語がどうやって

which enables us to capture what is symmetry.

対称とは何かを捉えるか説明しましょう

So, let's take these two symmetrical objects here.

ふたつの対称的な図形があるとしましょう

Let's take the twisted six-pointed starfish.

少しねじれた ヒトデ型の図形です

What can I do to the starfish which makes it look the same?

どう動かすと 元と同じに見えるでしょうか

Well, there I rotated it by a sixth of a turn,

そう 1/6回転させれば

and still it looks like it did before I started.

元と同じように見えます

I could rotate it by a third of a turn,

1/3回転でもいいですし

or a half a turn,

半回転でも

or put it back down on its image, or two thirds of a turn.

もしくは2/3回転でもいいですし

And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.

5番目の対称性として 5/6回転でも良いでしょう

And those are things that I can do to the symmetrical object

対称図形を動かして元と同じに見えるようにするために

that make it look like it did before I started.

このような操作をすることができます

Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.

実はガロアにとって 6番目の対称性がありました

Can anybody think what else I could do to this

図形が元と同じに見えるようになる

which would leave it like I did before I started?

操作方法は他にあるでしょうか?

I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?

突起が少しひねれているので 裏返しにはできません

It's got no reflective symmetry.

反射(鏡映)対称性はないのです

But what I could do is just leave it where it is,

でも 動かさないでおくことはできます

pick it up, and put it down again.

持ち上げて そのまま戻す

And for Galois this was like the zeroth symmetry.

ガロアにとっては これがゼロ番目の対称性でした

Actually, the invention of the number zero

実際 ゼロという概念の発明はつい最近で

was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.

紀元前7世紀のインド人によるものです

It seems mad to talk about nothing.

「何もない」ということを数えるのも変ですが

And this is the same idea. This is a symmetrical --

このゼロ番目の対称性も 同じアイデアなのです

so everything has symmetry, where you just leave it where it is.

どんなものにも「そのまま動かさない」 という対称性があります

So, this object has six symmetries.

この図形の場合は6種類の対称性があります

And what about the triangle?

三角形の場合はどうでしょう

Well, I can rotate by a third of a turn clockwise

時計周りに1/3回転させるか

or a third of a turn anticlockwise.

反時計周りに1/3回転させられます

But now this has some reflectional symmetry.

今度は反射(鏡映)対称なので

I can reflect it in the line through X,

Xを通る線を軸に反転させるか

or the line through Y,

Yを通る線か

or the line through Z.

Zを通る線でも

Five symmetries and then of course the zeroth symmetry

5種類の対称性と それに加えて 「そのまま」の

where I just pick it up and leave it where it is.

ゼロ番目の対称性があります

So both of these objects have six symmetries.

２つの図形は両方とも6つの対称性があります

Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,

数学はスポーツ観戦とは違って

and you have to do some mathematics

理解するためには

in order to really understand it.

実際に計算をするべきです

So here is a little question for you.

そこで簡単な質問をしましょう

And I'm going to give a prize at the end of my talk

そして この講演の最後に

for the person who gets closest to the answer.

正解に一番近かった人には 賞をあげます

The Rubik's Cube.

ルービックキューブです

How many symmetries does a Rubik's Cube have?

ルービックキューブには 対称性はいくつあるでしょう?

How many things can I do to this object

この様に動かして

and put it down so it still looks like a cube?

キューブの形を保つ操作はいくつあるでしょう

Okay? So I want you to think about that problem as we go on,

いいですか? これからしばらくの間

and count how many symmetries there are.

いくつ対称性があるか 考えてみてください

And there will be a prize for the person who gets closest at the end.

そして 正解に最も近かった人に賞を差し上げます

But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.

それではまた 先程の２つの図形の話に戻りましょう

What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,

物体の対称性を特徴付けるのは

but how they interact with each other

物体の持つ ひとつひとつの対称型ではなく

which really characterizes the symmetry of an object.

それらの関連性だと ガロアは気付きました

If I do one magic trick move followed by another,

もし複数の種類の操作を続けて行えば

the combination is a third magic trick move.

この組み合わせは別の操作に相当します

And here we see Galois starting to develop

これこそが ガロアが作り出した

a language to see the substance

この物体の対称性にひそむ

of the things unseen, the sort of abstract idea

抽象的なアイデアを理解するための

of the symmetry underlying this physical object.

言語だったのです

For example, what if I turn the starfish

例えば ヒトデ型を まず1/6回転させ

by a sixth of a turn,

次に1/3回転したら

and then a third of a turn?

どうなるでしょう?

So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,

説明のために 回転操作に名前を付ましょう

are the names for the rotations.

A, B, C, D, E, Fです

B, for example, rotates the little yellow dot

例えば B は 黄色の点が

to the B on the starfish. And so on.

図形のbの点に合うよう回転させます

So what if I do B, which is a sixth of a turn,

B つまり1/6回転の次に

followed by C, which is a third of a turn?

C つまり1/3回転したら どうなりますか?

Well let's do that. A sixth of a turn,

やってみましょう まず 1/6回転

followed by a third of a turn,

続けて1/3回転

the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.

これらを足し合わせると 半回転になります

So the little table here records

この表に記録されるのは

how the algebra of these symmetries work.

これらの対称性の計算の結果です

I do one followed by another, the answer is

１つ目の操作をして 続けて2番目の操作をすると

it's rotation D, half a turn.

結果はDの回転 つまり1/2回転です

What I if I did it in the other order? Would it make any difference?

ではもし この順番を変えたら違いはあるでしょうか

Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.

まず1/3回転させて 次に1/6回転させます