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On the 30th of May, 1832,
1832年5月30日
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a gunshot was heard
一発の銃声が
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ringing out across the 13th arrondissement in Paris.
パリ13区に響きました
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(Gunshot)
(銃声)
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A peasant, who was walking to market that morning,
朝市に来ていた農民が
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ran towards where the gunshot had come from,
銃声のした方へ行くと
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and found a young man writhing in agony on the floor,
青年がもがき苦しんでいました
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clearly shot by a dueling wound.
決闘で撃たれたのです
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The young man's name was Evariste Galois.
撃たれた青年の名はエヴァリスト・ガロア
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He was a well-known revolutionary in Paris at the time.
当時は良く知られたパリの革命家でした
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Galois was taken to the local hospital
ガロアは地元の病院で
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where he died the next day in the arms of his brother.
弟アルフレッドに看取られ亡くなりました
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And the last words he said to his brother were,
弟へ残した最後の言葉はこうです
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"Don't cry for me, Alfred.
「アルフレッド 泣かないでくれ
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I need all the courage I can muster
20歳で死ぬには
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to die at the age of 20."
相当の勇気がいるのだから」
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It wasn't, in fact, revolutionary politics
現代 ガロアが有名なのは
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for which Galois was famous.
革命活動ではありません
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But a few years earlier, while still at school,
その数年前 まだ学生のときに
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he'd actually cracked one of the big mathematical
彼は当時の数学の最大の謎のひとつを
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problems at the time.
解明したのです
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And he wrote to the academicians in Paris,
この理論を説明した論文を
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trying to explain his theory.
パリ科学アカデミーに提出しましたが
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But the academicians couldn't understand anything that he wrote.
アカデミーのメンバーは 書かれた内容が 理解できませんでした
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(Laughter)
(笑)
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This is how he wrote most of his mathematics.
これが彼が数学を記述する流儀でした
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So, the night before that duel, he realized
決闘の前夜に
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this possibly is his last chance
これが最後のチャンスだと思い
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to try and explain his great breakthrough.
彼の偉大な業績を書き残そうとしました
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So he stayed up the whole night, writing away,
一晩中起きて書き続け 彼のアイディアを
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trying to explain his ideas.
残そうとしました
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And as the dawn came up and he went to meet his destiny,
そして夜が明けて 彼は運命の時を迎えたのです
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he left this pile of papers on the table for the next generation.
机の上には 紙の山が残されていました
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Maybe the fact that he stayed up all night doing mathematics
もしかしたら 徹夜して数学をしていたのが
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was the fact that he was such a bad shot that morning and got killed.
決闘で負けてしまった理由かも知れません
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But contained inside those documents
彼が書き残した書類には
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was a new language, a language to understand
科学の根底にある概念を理解するための
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one of the most fundamental concepts
新しい言語が記されていました
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of science -- namely symmetry.
その概念とは 対称性です
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Now, symmetry is almost nature's language.
対称性は 自然界の言語とも言えます
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It helps us to understand so many
非常に多岐にわたる科学的なことを
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different bits of the scientific world.
理解する助けとなります
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For example, molecular structure.
たとえば分子構造では
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What crystals are possible,
どんな結晶構造がありえるのか
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we can understand through the mathematics of symmetry.
対称性の数学を通して理解できます
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In microbiology you really don't want to get a symmetrical object,
微生物学では 対称的な物体は
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because they are generally rather nasty.
大抵やっかいなものです
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The swine flu virus, at the moment, is a symmetrical object.
豚インフルエンザのウイルスは
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And it uses the efficiency of symmetry
対称性が効率的であることを利用して
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to be able to propagate itself so well.
高い感染力をもっています
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But on a larger scale of biology, actually symmetry is very important,
より大きなスケールの生物学では 遺伝子情報の伝達が
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because it actually communicates genetic information.
対称性によって実現されています
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I've taken two pictures here and I've made them artificially symmetrical.
二枚の写真と それを左右対称に 加工したものがあります
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And if I ask you which of these you find more beautiful,
どちらが美しいと感じるでしょうか
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you're probably drawn to the lower two.
おそらく 下の二枚でしょう
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Because it is hard to make symmetry.
対称を作るのは困難なので
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And if you can make yourself symmetrical, you're sending out a sign
あなたの体が左右対称ならば
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that you've got good genes, you've got a good upbringing
よい遺伝子を持ち 健康に育った
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and therefore you'll make a good mate.
良い結婚相手だという証になります
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So symmetry is a language which can help to communicate
つまり対称性は 遺伝情報の伝達に役立つ
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genetic information.
言語なのです
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Symmetry can also help us to explain
CERNの大型ハドロン衝突型加速器の中で
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what's happening in the Large Hadron Collider in CERN.
何が起きているのかを説明するにも役に立ちます
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Or what's not happening in the Large Hadron Collider in CERN.
あるいは 何が起きていないのかを...
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To be able to make predictions about the fundamental particles
見つかるかもしれない素粒子を
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we might see there,
予測する助けにもなります
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it seems that they are all facets of some strange symmetrical shape
素粒子は全て 高次元空間にある対称形の
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in a higher dimensional space.
色々な「断面」である可能性があります
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And I think Galileo summed up, very nicely,
身の回りの科学的な世界を理解するのに
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the power of mathematics
数学がどれほど強力なのか
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to understand the scientific world around us.
ガリレオがうまく表現しています
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He wrote, "The universe cannot be read
「宇宙という壮大な書物は
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until we have learnt the language
それを記述している言葉を学び
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and become familiar with the characters in which it is written.
その文字に親しまなければ解読できない
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It is written in mathematical language,
それは数学という言葉で書かれていて
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and the letters are triangles, circles and other geometric figures,
その文字は三角、円、その他の幾何学的図形であり
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without which means it is humanly impossible
それらを知らなければ
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to comprehend a single word."
一言も理解できない」
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But it's not just scientists who are interested in symmetry.
しかし 対称性に興味を持つのは 科学者だけではありません
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Artists too love to play around with symmetry.
芸術家も対称性を愛しています
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They also have a slightly more ambiguous relationship with it.
彼らは すこし違った視点を持っています
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Here is Thomas Mann talking about symmetry in "The Magic Mountain."
小説「魔の山」の中でトーマス・マンは
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He has a character describing the snowflake,
雪の結晶について登場人物にこう語らせています
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and he says he "shuddered at its perfect precision,
「ぞっとするほどの完璧さで
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found it deathly, the very marrow of death."
死の核心に思えた」
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But what artists like to do is to set up expectations
しかし 芸術家は対称性を暗示して
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of symmetry and then break them.
それをわざと壊したがるものです
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And a beautiful example of this
日本を訪れたときに
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I found, actually, when I visited a colleague of mine
研究仲間の黒川教授のところへ行ったとき
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in Japan, Professor Kurokawa.
とても良い例に出会いました
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And he took me up to the temples in Nikko.
彼は日光東照宮へ連れて行ってくれました
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And just after this photo was taken we walked up the stairs.
これは階段を登ったすぐの場所で撮った写真で
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And the gateway you see behind
背後に門が見えます
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has eight columns, with beautiful symmetrical designs on them.
門には美しい対称形の柱が8本あります
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Seven of them are exactly the same,
そのうち7本はまったく同じですが
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and the eighth one is turned upside down.
一本だけが上下逆になっています
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And I said to Professor Kurokawa,
「これをつくった建築家は
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"Wow, the architects must have really been kicking themselves
こいつを間違えて逆さまにしたって気付いた時に
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when they realized that they'd made a mistake and put this one upside down."
しまった! と思っただろうねぇ」と私が言うと
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And he said, "No, no, no. It was a very deliberate act."
教授は「いやいや、これはわざとなんだよ」と答えました
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And he referred me to this lovely quote from the Japanese
そして 日本の古典「徒然草」からの
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"Essays in Idleness" from the 14th century,
素敵な一節を教えてくれたのです
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in which the essayist wrote, "In everything,
「何でも全部が
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uniformity is undesirable.
完全に整っているのはよくない
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Leaving something incomplete makes it interesting,
やり残したことを そのままにしておくのが面白く
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and gives one the feeling that there is room for growth."
先に楽しみを残すことにもなる」
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Even when building the Imperial Palace,
皇居を建てるときにすら
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they always leave one place unfinished.
常に一箇所 未完成の場所を残します
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But if I had to choose one building in the world
でも私がもし建物をひとつ選んで
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to be cast out on a desert island, to live the rest of my life,
その中で一生を暮らすならば
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being an addict of symmetry, I would probably choose the Alhambra in Granada.
「対称性中毒」の私なら アルハンブラ宮殿を選びます
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This is a palace celebrating symmetry.
この宮殿は対称性の極致です
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Recently I took my family --
私はよく家族と
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we do these rather kind of nerdy mathematical trips, which my family love.
数学オタク的な旅行をするのですが
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This is my son Tamer. You can see
これは私の息子 タマーです
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he's really enjoying our mathematical trip to the Alhambra.
「数学的」な旅行を とても楽しんでいるようですね
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But I wanted to try and enrich him.
しかし もっと息子に見せたいものがありました
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I think one of the problems about school mathematics
学校の数学の授業では
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is it doesn't look at how mathematics is embedded
現実の世界にどう数学が関わっているのか
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in the world we live in.
教えてくれません
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So, I wanted to open his eyes up to
ですから アルハンブラ宮殿の対称性を
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how much symmetry is running through the Alhambra.
私は息子に見せたかったのです
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You see it already. Immediately you go in,
宮殿に入ってすぐにわかるのは
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the reflective symmetry in the water.
水に映し出された対称性です
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But it's on the walls where all the exciting things are happening.
でも 特にすばらしいのは ここの壁です
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The Moorish artists were denied the possibility
ムーア人の芸術家たちは 偶像を描くことを
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to draw things with souls.
禁止されていました
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So they explored a more geometric art.
ですから彼らは 幾何的な芸術を追求しました
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And so what is symmetry?
では 対称性とは何でしょう?
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The Alhambra somehow asks all of these questions.
アルハンブラに行くと 次々と質問が頭に浮かびます
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What is symmetry? When [there] are two of these walls,
対称性とは何か? 2つの模様の対称性が
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do they have the same symmetries?
同じだと言えるのは どんな時か?
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Can we say whether they discovered
ムーア人は 可能な対称性の型を全て
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all of the symmetries in the Alhambra?
アハンブラ宮殿に残したのでしょうか
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And it was Galois who produced a language
ガロアは まさにこの疑問に答えるための
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to be able to answer some of these questions.
言語を作り出したのです
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For Galois, symmetry -- unlike for Thomas Mann,
トーマス・マンにとって対称とは
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which was something still and deathly --
死であり 静止したものでしたが
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for Galois, symmetry was all about motion.
ガロアにとって対称性は動きでした
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What can you do to a symmetrical object,
対称的な図形を動かして
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move it in some way, so it looks the same
元の状態と同じに見えるようにするには
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as before you moved it?
何ができるでしょう
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I like to describe it as the magic trick moves.
手品の動きに例えて説明しましょう
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What can you do to something? You close your eyes.
みなさんが目を閉じている間に
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I do something, put it back down again.
こっそりと動かして もとの場所に戻すと
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It looks like it did before it started.
最初の状態と同じに見えるのは どんな動かし方でしょう?
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So, for example, the walls in the Alhambra --
たとえばアルハンブラの壁のタイルなら
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I can take all of these tiles, and fix them at the yellow place,
黄色の点の位置を軸にして
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rotate them by 90 degrees,
90°回転すると
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put them all back down again and they fit perfectly down there.
完全にもとの模様と一致します
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And if you open your eyes again, you wouldn't know that they'd moved.
閉じていた目を開けても 動かされたと気付きません
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But it's the motion that really characterizes the symmetry
しかし この動きこそがアルハンブラ宮殿の対称性を
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inside the Alhambra.
特徴付けるのです
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But it's also about producing a language to describe this.
同時に対称性を記述する言語にも繋がります
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And the power of mathematics is often
数学は あるものを別のものに変換することで
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to change one thing into another, to change geometry into language.
力を発揮します ここでは「幾何学」を「言語」に変換します
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So I'm going to take you through, perhaps push you a little bit mathematically --
ここから 数学的に少し踏み込んだお話をしましょう
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so brace yourselves --
心の準備はいいですか?
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push you a little bit to understand how this language works,
少し踏み込んで この言語がどうやって
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which enables us to capture what is symmetry.
対称とは何かを捉えるか説明しましょう
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So, let's take these two symmetrical objects here.
ふたつの対称的な図形があるとしましょう
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Let's take the twisted six-pointed starfish.
少しねじれた ヒトデ型の図形です
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What can I do to the starfish which makes it look the same?
どう動かすと 元と同じに見えるでしょうか
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Well, there I rotated it by a sixth of a turn,
そう 1/6回転させれば
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and still it looks like it did before I started.
元と同じように見えます
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I could rotate it by a third of a turn,
1/3回転でもいいですし
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or a half a turn,
半回転でも
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or put it back down on its image, or two thirds of a turn.
もしくは2/3回転でもいいですし
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And a fifth symmetry, I can rotate it by five sixths of a turn.
5番目の対称性として 5/6回転でも良いでしょう
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And those are things that I can do to the symmetrical object
対称図形を動かして元と同じに見えるようにするために
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that make it look like it did before I started.
このような操作をすることができます
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Now, for Galois, there was actually a sixth symmetry.
実はガロアにとって 6番目の対称性がありました
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Can anybody think what else I could do to this
図形が元と同じに見えるようになる
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which would leave it like I did before I started?
操作方法は他にあるでしょうか?
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I can't flip it because I've put a little twist on it, haven't I?
突起が少しひねれているので 裏返しにはできません
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It's got no reflective symmetry.
反射(鏡映)対称性はないのです
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But what I could do is just leave it where it is,
でも 動かさないでおくことはできます
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pick it up, and put it down again.
持ち上げて そのまま戻す
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And for Galois this was like the zeroth symmetry.
ガロアにとっては これがゼロ番目の対称性でした
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Actually, the invention of the number zero
実際 ゼロという概念の発明はつい最近で
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was a very modern concept, seventh century A.D., by the Indians.
紀元前7世紀のインド人によるものです
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It seems mad to talk about nothing.
「何もない」ということを数えるのも変ですが
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And this is the same idea. This is a symmetrical --
このゼロ番目の対称性も 同じアイデアなのです
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so everything has symmetry, where you just leave it where it is.
どんなものにも「そのまま動かさない」 という対称性があります
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So, this object has six symmetries.
この図形の場合は6種類の対称性があります
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And what about the triangle?
三角形の場合はどうでしょう
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Well, I can rotate by a third of a turn clockwise
時計周りに1/3回転させるか
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or a third of a turn anticlockwise.
反時計周りに1/3回転させられます
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But now this has some reflectional symmetry.
今度は反射(鏡映)対称なので
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I can reflect it in the line through X,
Xを通る線を軸に反転させるか
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or the line through Y,
Yを通る線か
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or the line through Z.
Zを通る線でも
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Five symmetries and then of course the zeroth symmetry
5種類の対称性と それに加えて 「そのまま」の
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where I just pick it up and leave it where it is.
ゼロ番目の対称性があります
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So both of these objects have six symmetries.
2つの図形は両方とも6つの対称性があります
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Now, I'm a great believer that mathematics is not a spectator sport,
数学はスポーツ観戦とは違って
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and you have to do some mathematics
理解するためには
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in order to really understand it.
実際に計算をするべきです
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So here is a little question for you.
そこで簡単な質問をしましょう
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And I'm going to give a prize at the end of my talk
そして この講演の最後に
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for the person who gets closest to the answer.
正解に一番近かった人には 賞をあげます
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The Rubik's Cube.
ルービックキューブです
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How many symmetries does a Rubik's Cube have?
ルービックキューブには 対称性はいくつあるでしょう?
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How many things can I do to this object
この様に動かして
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and put it down so it still looks like a cube?
キューブの形を保つ操作はいくつあるでしょう
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Okay? So I want you to think about that problem as we go on,
いいですか? これからしばらくの間
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and count how many symmetries there are.
いくつ対称性があるか 考えてみてください
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And there will be a prize for the person who gets closest at the end.
そして 正解に最も近かった人に賞を差し上げます
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But let's go back down to symmetries that I got for these two objects.
それではまた 先程の2つの図形の話に戻りましょう
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What Galois realized: it isn't just the individual symmetries,
物体の対称性を特徴付けるのは
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but how they interact with each other
物体の持つ ひとつひとつの対称型ではなく
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which really characterizes the symmetry of an object.
それらの関連性だと ガロアは気付きました
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If I do one magic trick move followed by another,
もし複数の種類の操作を続けて行えば
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the combination is a third magic trick move.
この組み合わせは別の操作に相当します
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And here we see Galois starting to develop
これこそが ガロアが作り出した
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a language to see the substance
この物体の対称性にひそむ
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of the things unseen, the sort of abstract idea
抽象的なアイデアを理解するための
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of the symmetry underlying this physical object.
言語だったのです
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For example, what if I turn the starfish
例えば ヒトデ型を まず1/6回転させ
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by a sixth of a turn,
次に1/3回転したら
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and then a third of a turn?
どうなるでしょう?
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So I've given names. The capital letters, A, B, C, D, E, F,
説明のために 回転操作に名前を付ましょう
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are the names for the rotations.
A, B, C, D, E, Fです
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B, for example, rotates the little yellow dot
例えば B は 黄色の点が
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to the B on the starfish. And so on.
図形のbの点に合うよう回転させます
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So what if I do B, which is a sixth of a turn,
B つまり1/6回転の次に
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followed by C, which is a third of a turn?
C つまり1/3回転したら どうなりますか?
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Well let's do that. A sixth of a turn,
やってみましょう まず 1/6回転
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followed by a third of a turn,
続けて1/3回転
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the combined effect is as if I had just rotated it by half a turn in one go.
これらを足し合わせると 半回転になります
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So the little table here records
この表に記録されるのは
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how the algebra of these symmetries work.
これらの対称性の計算の結果です
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I do one followed by another, the answer is
1つ目の操作をして 続けて2番目の操作をすると
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it's rotation D, half a turn.
結果はDの回転 つまり1/2回転です
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What I if I did it in the other order? Would it make any difference?
ではもし この順番を変えたら違いはあるでしょうか
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Let's see. Let's do the third of the turn first, and then the sixth of a turn.
まず1/3回転させて 次に1/6回転させます
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Of course, it doesn't make any difference.
当然 同じ結果になります
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It still ends up at half a turn.
つまり1/2回転します
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And there is some symmetry here in the way the symmetries interact with each other.
この操作の組み合わせにも対称性が見られます