air traffic controllers,

航空管制官

and video game creators

テレビゲームのクリエイター

all have at least one thing in common:

この人達には共通点が 少なくともひとつあります

vectors.

ベクトルです

What exactly are they, and why do they matter?

これは一体何であり どうして重要なのでしょうか？

To answer, we first need to understand scalars.

それには まずスカラーを 理解する必要があります

A scalar is a quantity with magnitude.

スカラーは大きさのある量です

It tells us how much of something there is.

これでそこにある物の量が分かります

The distance between you and a bench,

あなたとベンチの間の距離

and the volume and temperature of the beverage in your cup

カップの中の飲み物の体積や温度

are all described by scalars.

これらは どれもスカラーで 表すことができます

Vector quantities also have a magnitude plus an extra piece of information,

ベクトルにも大きさがありますが さらにもう１つ情報が加わります

direction.

方向です

To navigate to your bench,

ベンチに誘導しようとすると

you need to know how far away it is and in what direction,

その距離と方向を 知る必要があります

not just the distance, but the displacement.

距離だけでなく その相対的な位置関係も必要だからです

What makes vectors special and useful in all sorts of fields

ベクトルを特別なものにし 様々な分野で有用としているのは

is that they don't change based on perspective

視点によって変わることがなく

but remain invariant to the coordinate system.

座標系に対しても 不変であるからです

What does that mean?

これはどういう意味でしょうか？

Let's say you and a friend are moving your tent.

例えば 友達と一緒に テントを移動しているとします

You stand on opposite sides so you're facing in opposite directions.

あなたは反対側に立って お互いに向き合っているわけです

Your friend moves two steps to the right and three steps forward

友達は右側に２歩動いてから ３歩前進しますが

while you move two steps to the left and three steps back.

あなたは左側に２歩動いてから ３歩後退します

But even though it seems like you're moving differently,

別の動きをしているように見えたとしても

you both end up moving the same distance in the same direction

同じベクトルに従って

following the same vector.

同じ方向に同じ距離 進んだわけです

No matter which way you face,

どの方向を向いていたとしても

or what coordinate system you place over the camp ground,

キャンプ場でどんな座標系を 使用したとしても

the vector doesn't change.

ベクトルが変わることはありません

Let's use the familiar Cartesian coordinate system

x座標と y座標がある おなじみの直交座標系を

with its x and y axes.

使ってみましょう

We call these two directions our coordinate basis

この２つの方向を基底ベクトルと 呼んでいます

because they're used to describe everything we graph.

それは グラフ上の全ての点を 表すのに使うことができるからです

Let's say the tent starts at the origin and ends up over here at point B.

テントを原点からB点まで 移動するとしましょう

The straight arrow connecting the two points

２点をつなぐ真っ直ぐな矢印は

is the vector from the origin to B.

原点からB点までのベクトルです

When your friend thinks about where he has to move,

友達が移動しようとする時

it can be written mathematically as 2x + 3y,

これを数学では 2x + 3yと表記したり

or, like this, which is called an array.

この様に配列というもので 表記します

Since you're facing the other way,

あなたは反対向きなので

your coordinate basis points in opposite directions,

基底ベクトルは 反対の方向を向いていますが

which we can call x prime and y prime,

これらを x' およびy' とすると

and your movement can be written like this,

あなたの動きは このように表したり

or with this array.

このような配列で表すことができます

If we look at the two arrays, they're clearly not the same,

この２つの配列を見てみると 明らかに異なりますが

but an array alone doesn't completely describe a vector.

この配列自体がベクトルを完全に 表しているわけではありません

Each needs a basis to give it context,

各配列を定めるには 基底ベクトルが必要で

and when we properly assign them,

適切なものを割り当ててやると

we see that they are in fact describing the same vector.

実は同じベクトルを 記述していることが分かります

You can think of elements in the array as individual letters.

この配列の要素を個々の数字だと みなすことができます

Just as a sequence of letters only becomes a word

特定の言語の文脈では

in the context of a particular language,

文字の列が語になるように

an array acquires meaning as a vector when assigned a coordinate basis.

配列は基底ベクトルを指定すると ベクトルとしての意味を持つようになります

And just as different words in two languages can convey the same idea,

２つの言語の異なる語が 同じ概念をもたらすように

different representations from two bases can describe the same vector.

２つの基底ベクトルの異なる配列表現が 同じベクトルを記述し得るのです

The vector is the essence of what's being communicated,

ベクトルは記述する言語によらず

regardless of the language used to describe it.

コミュニケーションの中身の 本質を伝えます

It turns out that scalars also share this coordinate invariance property.

スカラーもまた座標系に対し 不変である性質を持っています

In fact, all quantities with this property are members of a group called tensors.

実際この性質を持つ量は テンソルと呼ばれるものの一種です

Various types of tensors contain different amounts of information.

様々なタイプのテンソルがあり それぞれが異なる量の情報を含んでいます

Does that mean there's something that can convey more information than vectors?

ベクトルより多くの情報量を伝え得る 何かがあるということでしょうか？

Absolutely.

その通りです

Say you're designing a video game,

例えば TVゲームを設計中に

and you want to realistically model how water behaves.

リアルな水の動きを表すモデルが 欲しいとしましょう

Even if you have forces acting in the same direction

たとえ 同じ方向に

with the same magnitude,

同じ大きさで力を加えたとしても

depending on how they're oriented, you might see waves or whirls.

その水の向きによって波になったり 渦になったりします

When force, a vector, is combined with another vector that provides orientation,

ベクトルである力が 方向性を与える他のベクトルと結びつくと

we have the physical quantity called stress,

応力という物理的な量が得られます

which is an example of a second order tensor.

これが２階のテンソルの一例です

These tensors are also used outside of video games for all sorts of purposes,

これらのテンソルは テレビゲームだけでなく あらゆる目的 ―

including scientific simulations,

科学的なシミュレーション

car designs,

カーデザイン

and brain imaging.

脳撮像も含まれます

Scalars, vectors, and the tensor family present us with a relatively simple way

スカラーにベクターそしてテンソルは 比較的シンプルな方法で

of making sense of complex ideas and interactions,

複雑な概念や相互作用を 表すことができるので

and as such, they're a prime example of the elegance, beauty,

それ自体が数学の 優美さ、美しさ そして―

and fundamental usefulness of mathematics.

根本的な有用性を示す 好例となっているのです