Placeholder Image

字幕表 動画を再生する

  • What is it that French people do better than all the others?

    フランス人が 他の国民より 巧みな事は何でしょう?

  • If you would take polls,

    そんな世論調査をしたなら

  • the top three answers might be:

    トップ3の答えは

  • love, wine and whining.

    愛、ワイン、ワイニング(泣き言)

  • (Laughter)

    (笑)

  • Maybe.

    かもしれませんが

  • But let me suggest a fourth one:

    それに加えて もう1つ提案すると

  • mathematics.

    数学です

  • Did you know that Paris has more mathematicians

    パリ程 数学者の多い街は

  • than any other city in the world?

    世界中どこを捜してもありません

  • And more streets with mathematicians' names, too.

    これ程 数学者にちなんだ 名前の街路もありません

  • And if you look at the statistics of the Fields Medal,

    統計からすると

  • often called the Nobel Prize for mathematics,

    数学のノーベル賞とも言われ

  • and always awarded to mathematicians below the age of 40,

    40才以下の数学者に与えられる

  • you will find that France has more Fields medalists per inhabitant

    フィールズ賞の受賞者人口比は

  • than any other country.

    フランスが世界一です

  • What is it that we find so sexy in math?

    数学の何が フランス人を そんなに魅惑するのでしょうか?

  • After all, it seems to be dull and abstract,

    数学なんて 抽象的でつまらないとか

  • just numbers and computations and rules to apply.

    またはルールと数字を使っての計算に 過ぎないように思えるでしょう

  • Mathematics may be abstract,

    数学は抽象的かも知れませんが

  • but it's not dull

    退屈ではなく

  • and it's not about computing.

    計算が全てでもありません

  • It is about reasoning

    数学とは論証と証明こそが

  • and proving our core activity.

    数学者の仕事の中核を成し

  • It is about imagination,

    想像力 すなわち

  • the talent which we most praise.

    我々が最も称賛する能力を使う

  • It is about finding the truth.

    真理の追求です

  • There's nothing like the feeling which invades you

    何ヶ月も思考を重ねた上

  • when after months of hard thinking,

    問題が解け やっと正しい証明が

  • you finally understand the right reasoning to solve your problem.

    論証し上がった時の喜び と言ったらありません

  • The great mathematician André Weil likened this --

    偉大なる数学者アンドレ・ヴェイユが この喜びを—

  • no kidding --

    冗談抜きに—

  • to sexual pleasure.

    性的快感に例えています

  • But noted that this feeling can last for hours, or even days.

    違いは その感覚が何時間も 時には何日も継続するという事です

  • The reward may be big.

    見返りが大きいのです

  • Hidden mathematical truths permeate our whole physical world.

    数学的真理は この物質世界全体に潜んでいます

  • They are inaccessible to our senses

    我々は それを五感で 感じる事は出来なくとも

  • but can be seen through mathematical lenses.

    数学というレンズを通して 見る事が出来ます

  • Close your eyes for moment

    では 暫く目を閉じて

  • and think of what is occurring right now around you.

    身の回りで起きている事を 考えてみて下さい

  • Invisible particles from the air around are bumping on you

    あなたの周りの空気中にある 見えない無数の粒子が

  • by the billions and billions at each second,

    常にあなたの体に ぶつかってきています

  • all in complete chaos.

    それは まったく不規則です

  • And still,

    それでも

  • their statistics can be accurately predicted by mathematical physics.

    動きの統計的な値は 数理物理学で正確に予測できます

  • And open your eyes now

    では 目を開けて

  • to the statistics of the velocities of these particles.

    その粒子の速度の統計に 目を向けてみましょう

  • The famous bell-shaped Gauss Curve,

    これは かの有名な 釣り鐘形のガウス曲線—

  • or the Law of Errors --

    誤差の法則—

  • of deviations with respect to the mean behavior.

    平均的挙動に対する 偏差を表したものです

  • This curve tells about the statistics of velocities of particles

    この曲線は 粒子の速度を

  • in the same way as a demographic curve

    人口統計が年齢分布を表すように

  • would tell about the statistics of ages of individuals.

    統計で表したもので

  • It's one of the most important curves ever.

    最も重要な曲線の1つです

  • It keeps on occurring again and again,

    これは幾度となく

  • from many theories and many experiments,

    多くの理論や実験から現れる

  • as a great example of the universality

    普遍的な一大真理として

  • which is so dear to us mathematicians.

    我々数学者には とても大切なものです

  • Of this curve,

    ガウス曲線に関して

  • the famous scientist Francis Galton said,

    有名な科学者フランシス・ゴルトンが こう言いました

  • "It would have been deified by the Greeks if they had known it.

    「ギリシャ人がこの法則を知っていたら これを神格化していただろう

  • It is the supreme law of unreason."

    これは無秩序の最高法規だ」

  • And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board.

    この至高の女神を最もうまく 具現化したのがゴルトンボードです

  • Inside this board are narrow tunnels

    この中には 狭いトンネルがあり

  • through which tiny balls will fall down randomly,

    それを通り 小さなビー玉が

  • going right or left, or left, etc.

    右へ 左へ また左へというように ランダムに落ちていきます

  • All in complete randomness and chaos.

    完全に無秩序な混沌とした動きです

  • Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.

    こんな無秩序な軌道が共に 何を起こすか見てみましょう

  • (Board shaking)

    (ボードを振る)

  • This is a bit of a sport,

    これはちょっとした運動です

  • because we need to resolve some traffic jams in there.

    この中の交通渋滞を 解消しないといけないので

  • Aha.

    さあ

  • We think that randomness is going to play me a trick on stage.

    この場で無秩序が何か面白い事を 起こすかもしれませんよ

  • There it is.

    出ました

  • Our supreme goddess of unreason.

    無秩序の至高の女神

  • the Gauss Curve,

    ガウス曲線が

  • trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics.

    『サンドマン』の主人公ドリームのように この透明の箱に閉じ込められています

  • For you I have shown it,

    ここでは 実験で お見せするだけですが

  • but to my students I explain why it could not be any other curve.

    この曲線以外はあり得ない理由を 私のクラスでは説明します

  • And this is touching the mystery of that goddess,

    至高の女神の神秘に触れ

  • replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.

    美しい偶然の一致が 美しい論証に取って代わるのです

  • All of science is like this.

    科学とはこのようなものです

  • And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure.

    美しい数学的な論証は 数学者の喜びであるだけでなく

  • They also change our vision of the world.

    我々の世界観を変えてしまいます

  • For instance,

    例えば

  • Einstein,

    アインシュタイン

  • Perrin,

    ペラン

  • Smoluchowski,

    スモルコフスキー

  • they used the mathematical analysis of random trajectories

    彼らは 無秩序な軌道の集合とガウス曲線を

  • and the Gauss Curve

    数学的に分析して

  • to explain and prove that our world is made of atoms.

    この世に存在する全てのものは 原子で成っていると証明しました

  • It was not the first time

    数学者が

  • that mathematics was revolutionizing our view of the world.

    我々の世界観を覆したのは これが初めてではありません

  • More than 2,000 years ago,

    2千年以上前

  • at the time of the ancient Greeks,

    古代ギリシャの時代には

  • it already occurred.

    そのような事が既に起きていました

  • In those days,

    当時

  • only a small fraction of the world had been explored,

    世界のほんの一部しか 探検されておらず

  • and the Earth might have seemed infinite.

    地球は無限に広がっている かのようだったでしょう

  • But clever Eratosthenes,

    知恵者のエラストテネスは

  • using mathematics,

    数学を使い

  • was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.

    僅か2%の誤差という驚く程の正確さで 地球の周長を測ったのです

  • Here's another example.

    もう1つの例は

  • In 1673, Jean Richer noticed

    1673年に ジャン・リシェが

  • that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris.

    カイエンヌでは振り子の動きがパリより 少し遅くなることに気がつきました

  • From this observation alone, and clever mathematics,

    この観察だけから 数学を巧妙に使い

  • Newton rightly deduced

    ニュートンは

  • that the Earth is a wee bit flattened at the poles,

    地球の両極が ほんの少し平坦なことを 正確に導き出しました

  • like 0.3 percent --

    その扁平率は0.3%と僅かで

  • so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.

    地球全体を実際見たとしても 気がつかない程でしょう

  • These stories show that mathematics

    これらの例が示しているのは

  • is able to make us go out of our intuition

    数学が我々に直観の世界を 超えさせてくれ

  • measure the Earth which seems infinite,

    果てしなく見える地球の 大きさを測定させ

  • see atoms which are invisible

    目には見えない原子や

  • or detect an imperceptible variation of shape.

    我々が五感で感知できないものを 検知させてくれるということです

  • And if there is just one thing that you should take home from this talk,

    この私のトークから 覚えておく事があるとしたなら

  • it is this:

    それは1つ

  • mathematics allows us to go beyond the intuition

    我々の直観を越えた所にある 知覚では理解し難いものを

  • and explore territories which do not fit within our grasp.

    数学は探索させてくれるということです

  • Here's a modern example you will all relate to:

    皆さんも経験している 現代の例がこれです

  • searching the Internet.

    ネットでの検索です

  • The World Wide Web,

    ワールド・ワイド・ウェブ

  • more than one billion web pages --

    10億を超えるページ全部

  • do you want to go through them all?

    調べ上げたいと思いますか?

  • Computing power helps,

    それだけの計算能力があればですが

  • but it would be useless without the mathematical modeling

    データに潜む情報を見出すための 数学モデルがなければ

  • to find the information hidden in the data.

    使い物にならないでしょう

  • Let's work out a baby problem.

    分かり易い問題で考えてみましょう

  • Imagine that you're a detective working on a crime case,

    こう想像して下さい あなたは ある事件を扱っている刑事で

  • and there are many people who have their version of the facts.

    1人1人異なった見解を 持った証人が多くいたとします

  • Who do you want to interview first?

    誰を最初に事情聴取しますか

  • Sensible answer:

    合理的に見ても

  • prime witnesses.

    主要目撃者ですよね

  • You see,

    こうです

  • suppose that there is person number seven,

    証人7が ある話をするとします

  • tells you a story,

    その情報の発信源を 証人7に尋ねると

  • but when you ask where he got if from,

    証人3から聞いたと言うのです

  • he points to person number three as a source.

    その次には 証人3は

  • And maybe person number three, in turn,

    証人1が その話の源だと 言うかも知れません

  • points at person number one as the primary source.

    さあ 証人1が主要証人となり

  • Now number one is a prime witness,

    その人からの事情聴取を 絶対に最優先したいと思いますよね

  • so I definitely want to interview him -- priority.

    でも このグラフから

  • And from the graph

    証人4が主要目撃者だとも 見なされるので

  • we also see that person number four is a prime witness.

    彼の方を先に事情聴取した方が いいかもしれません

  • And maybe I even want to interview him first,

    大勢の人の口から 彼の名が上がるからです

  • because there are more people who refer to him.

    この場合は簡単ですが

  • OK, that was easy,

    もし 非常に多くの人が証言する となったら どうします?

  • but now what about if you have a big bunch of people who will testify?

    また このグラフは

  • And this graph,

    複雑な事件で証言する人々を 表しているようですが

  • I may think of it as all people who testify in a complicated crime case,

    相互にURLを参照し合う

  • but it may just as well be web pages pointing to each other,

    ウェブサイトを 表しているのでもあります

  • referring to each other for contents.

    これでは どのサイトが 最も信頼できるのか

  • Which ones are the most authoritative?

    あまり はっきりしません

  • Not so clear.

    ここで登場するのが「ページランク」

  • Enter PageRank,

    Google初期の主要機能の1つです

  • one of the early cornerstones of Google.

    このアルゴリズムは 数学的無秩序の法則を使って

  • This algorithm uses the laws of mathematical randomness

    最も関連性の高いウェブサイトを 自動的に決定します

  • to determine automatically the most relevant web pages,

    これはゴルトンボードの実験で 見られた無秩序の法則と同じ原理です

  • in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment.

    では このグラフに

  • So let's send into this graph

    小さなデジタル・ビー玉を送り込み

  • a bunch of tiny, digital marbles

    バラバラに通してみましょう

  • and let them go randomly through the graph.

    それぞれサイトに到着し

  • Each time they arrive at some site,

    次から次にリンクを 無秩序に通り抜けます

  • they will go out through some link chosen at random to the next one.

    どの玉も そうです

  • And again, and again, and again.

    玉が少しずつ積み上がり

  • And with small, growing piles,

    それぞれのサイトの閲覧数—

  • we'll keep the record of how many times each site has been visited

    デジタル・ビー玉の数が記録されます

  • by these digital marbles.

    さあ行きますよ

  • Here we go.

    無秩序に バラバラと

  • Randomness, randomness.

    時々

  • And from time to time,

    全く無秩序にジャンプを起こして もっと面白くしましょう

  • also let's make jumps completely randomly to increase the fun.

    ご覧下さい

  • And look at this:

    カオスの状態から解決法が生まれます

  • from the chaos will emerge the solution.

    ビー玉の数が一番多いのは

  • The highest piles correspond to those sites

    他のサイトに比べて リンクが多いサイトであり

  • which somehow are better connected than the others,

    より多く参照されているサイトです

  • more pointed at than the others.

    これで どれが

  • And here we see clearly

    最初に見てみたいウェブサイトか はっきりと分かります

  • which are the web pages we want to first try.

    ここでもまた

  • Once again,

    解決法が無秩序から生まれます

  • the solution emerges from the randomness.

    もちろん それ以来

  • Of course, since that time,

    Googleはもっと洗練された アルゴリズムを導入していますが

  • Google has come up with much more sophisticated algorithms,

    ページランクは既に実に うまく機能していました

  • but already this was beautiful.

    それでも問題は起きますが

  • And still,

    その頻度は ほんの百万回に1回程です

  • just one problem in a million.

    デジタルの到来で

  • With the advent of digital area,

    数学的分析が応用出来る 問題が増えて来て

  • more and more problems lend themselves to mathematical analysis,

    数学者の仕事は増々有用になり

  • making the job of mathematician a more and more useful one,

    数年前

  • to the extent that a few years ago,

    2009年の ウォール・ストリート・ジャーナルによると

  • it was ranked number one among hundreds of jobs

    「職種ランキング100」の調査で

  • in a study about the best and worst jobs

    百の仕事の内のトップに のし上がるまでになりました

  • published by the Wall Street Journal in 2009.

    数学者は

  • Mathematician --

    世界で最高の仕事です

  • best job in the world.

    理由は その応用の幅広さです

  • That's because of the applications:

    コミュニケーション理論

  • communication theory,

    情報理論

  • information theory,

    ゲーム理論

  • game theory,

    圧縮センシング

  • compressed sensing,

    機械学習

  • machine learning,

    グラフ解析

  • graph analysis,

    調和解析に加え

  • harmonic analysis.

    確率過程

  • And why not stochastic processes,

    線形計画

  • linear programming,

    流体シミュレーションもあり

  • or fluid simulation?

    それぞれ 様々な産業界で 大いに応用されています

  • Each of these fields have monster industrial applications.

    これらを通して

  • And through them,

    数学は大きな利益をもたらします

  • there is big money in mathematics.

    そして 認めざるを得ないことは

  • And let me concede

    数学を使い富を得る事に関しては

  • that when it comes to making money from the math,

    ダントツで米国が世界一です

  • the Americans are by a long shot the world champions,

    その象徴の才気ある億万長者や 素晴らしい巨大企業は全て

  • with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies,

    究極のところ 良く出来たアルゴリズムに 頼っているということです

  • all resting, ultimately, on good algorithm.

    これら全ての美しさ 有用さと豊かさで

  • Now with all this beauty, usefulness and wealth,

    数学は より一層魅惑的に見えるのです

  • mathematics does look more sexy.

    しかし数学者の研究生活が

  • But don't you think

    楽だなんて思わないで下さい

  • that the life a mathematical researcher is an easy one.

    解決までには 当惑

  • It is filled with perplexity,

    苛立たしさ

  • frustration,

    理解に向けての 絶望的な闘いで一杯なのです

  • a desperate fight for understanding.

    私の数学者としての人生で

  • Let me evoke for you

    最も印象深かった ある日のことを お話ししましょう

  • one of the most striking days in my mathematician's life.

    最も印象深い夜だったと

  • Or should I say,

    言うべきかも知れません

  • one of the most striking nights.

    当時

  • At that time,

    私はプリンストン高等研究所にいました

  • I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton --

    アルベルト・アインシュタインが 何年も研究を続けた場所で

  • for many years, the home of Albert Einstein

    数学の研究には世界で最も聖なる地だと 言っても間違いがありません

  • and arguably the most holy place for mathematical research in the world.

    その夜 私は 捕らえ所のない証明に 取り組んでいて

  • And that night I was working and working on an elusive proof,

    それは不完全なままでした

  • which was incomplete.

    これは電子の集合体である プラズマの

  • It was all about understanding

    矛盾する安定性に関するものでした

  • the paradoxical stability property of plasmas,

    完璧なプラズマの世界では

  • which are a crowd of electrons.

    我々に馴染みの安定性を作り出す

  • In the perfect world of plasma,

    衝突も摩擦もありません

  • there are no collisions

    しかし

  • and no friction to provide the stability like we are used to.

    少しでもプラズマの平衡が崩れると

  • But still,

    電場は 結果として

  • if you slightly perturb a plasma equilibrium,

    ひとりでに消え去る つまり

  • you will find that the resulting electric field

    減衰することになります

  • spontaneously vanishes,

    まるで何か不可解な摩擦力が 働いたようにです

  • or damps out,

    この矛盾する現象は