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  • This may look like a neatly arranged stack of numbers,

    綺麗に数字が積み重なっているように見えるかもしれません。

  • but it's actually a mathematical treasure trove.

    と思っていましたが、実は数学の宝庫なのです。

  • Indian mathematicians called it the Staircase of Mount Meru.

    インドの数学者たちは、それをメルー山の階段と呼んでいました。

  • In Iran, it's the Khayyam Triangle.

    イランではカイヤムトライアングルです。

  • And in China, it's Yang Hui's Triangle.

    そして中国では楊貴妃の三角関係です。

  • To much of the Western world, it's known as Pascal's Triangle

    西洋の多くの人にはパスカルの三角形として知られています。

  • after French mathematician Blaise Pascal,

    フランスの数学者ブレーズ・パスカルにちなんで

  • which seems a bit unfair since he was clearly late to the party,

    彼は明らかにパーティーに遅れていたので、少し不公平に思える。

  • but he still had a lot to contribute.

    しかし、彼はまだ貢献できることがたくさんありました。

  • So what is it about this that has so intrigued mathematicians the world over?

    では、世界中の数学者を魅了しているのは何なのでしょうか?

  • In short, it's full of patterns and secrets.

    要するに、パターンと秘密が詰まっているのです。

  • First and foremost, there's the pattern that generates it.

    何よりもまず、それを生み出すパターンがあります。

  • Start with one and imagine invisible zeros on either side of it.

    1つから始めて、その両側の見えないゼロを想像してみてください。

  • Add them together in pairs, and you'll generate the next row.

    ペアで足していくと、次の行が生成されます。

  • Now, do that again and again.

    さて、それを何度も何度もやってください。

  • Keep going and you'll wind up with something like this,

    続けていると、こんな風になってしまいます。

  • though really Pascal's Triangle goes on infinitely.

    しかし、パスカルの三角形は無限に続いています。

  • Now, each row corresponds to what's called the coefficients of a binomial expansion

    さて、各行は二項展開の係数と呼ばれるものに対応しています

  • of the form (x+y)^n,

    (x+y)^nの形をしています。

  • where n is the number of the row,

    ここで、nは行の数です。

  • and we start counting from zero.

    とゼロから数え始めます。

  • So if you make n=2 and expand it,

    なので、n=2にして展開すると

  • you get (x^2) + 2xy + (y^2).

    (x^2) + 2xy + (y^2)となります。

  • The coefficients, or numbers in front of the variables,

    係数、つまり変数の前の数字。

  • are the same as the numbers in that row of Pascal's Triangle.

    はパスカルの三角形のその行の数字と同じです。

  • You'll see the same thing with n=3, which expands to this.

    n=3でも同じことがわかりますが、これが拡大してこうなります。

  • So the triangle is a quick and easy way to look up all of these coefficients.

    そこで、三角形を使えば、これらの係数をすべて簡単に調べることができます。

  • But there's much more.

    でも、それ以外にもたくさんあります。

  • For example, add up the numbers in each row,

    例えば、各行の数字を足し算する。

  • and you'll get successive powers of two.

    と、2つの連続した力を得ることができます。

  • Or in a given row, treat each number as part of a decimal expansion.

    または、与えられた行の中で、各数値を10進数展開の一部として扱います。

  • In other words, row two is (1x1) + (2x10) + (1x100).

    つまり、2列目は(1×1)+(2×10)+(1×100)となります。

  • You get 121, which is 11^2.

    121が得られるので、11^2になります。

  • And take a look at what happens when you do the same thing to row six.

    6列目に同じことをしたらどうなるか見てみましょう。

  • It adds up to 1,771,561, which is 11^6, and so on.

    足して1,771,561となり、11^6となります。

  • There are also geometric applications.

    幾何学的な応用もあります。

  • Look at the diagonals.

    対角線を見てください。

  • The first two aren't very interesting: all ones, and then the positive integers,

    最初の2つはあまり面白くない:すべての1と、その後に正の整数。

  • also known as natural numbers.

    自然数とも呼ばれています。

  • But the numbers in the next diagonal are called the triangular numbers

    しかし、次の対角線上の数字は三角数と呼ばれています。

  • because if you take that many dots,

    それだけの点を取れば

  • you can stack them into equilateral triangles.

    正三角形に重ねることができます。

  • The next diagonal has the tetrahedral numbers

    次の対角線には四面体の数があります。

  • because similarly, you can stack that many spheres into tetrahedra.

    なぜなら、同じように、それだけの数の球体を四面体に積み重ねることができるからです。

  • Or how about this: shade in all of the odd numbers.

    または、これはどうでしょうか:奇数のすべての陰影。

  • It doesn't look like much when the triangle's small,

    三角形が小さいとあんまり見えないな

  • but if you add thousands of rows,

    が、何千行も追加してしまうと

  • you get a fractal known as Sierpinski's Triangle.

    シエルピンスキーの三角形として 知られているフラクタルができます

  • This triangle isn't just a mathematical work of art.

    この三角形は単なる数学的な芸術作品ではありません。

  • It's also quite useful,

    これもかなり便利です。

  • especially when it comes to probability and calculations

    確率計算上

  • in the domain of combinatorics.

    組み合わせ論の領域で

  • Say you want to have five children,

    5人の子供が欲しいと言って

  • and would like to know the probability

    と確率を知りたい

  • of having your dream family of three girls and two boys.

    女の子3人と男の子2人の夢の家族を持つことの

  • In the binomial expansion,

    二項展開で

  • that corresponds to girl plus boy to the fifth power.

    女の子+男の子に対応した第5の力になります。

  • So we look at the row five,

    そこで5列目を見てみます。

  • where the first number corresponds to five girls,

    ここで、最初の数字は5人の女の子に対応しています。

  • and the last corresponds to five boys.

    と、最後の方は5人の男の子に対応しています。

  • The third number is what we're looking for.

    3つ目の数字は、私たちが求めているものです。

  • Ten out of the sum of all the possibilities in the row.

    列の可能性の総和のうち10個

  • so 10/32, or 31.25%.

    だから10/32か31.25%。

  • Or, if you're randomly picking a five-player basketball team

    もしくは、5人制バスケチームをランダムで選んでいる場合は

  • out of a group of twelve friends,

    12人の友達の中から

  • how many possible groups of five are there?

    五つの可能性はいくつありますか?

  • In combinatoric terms, this problem would be phrased as twelve choose five,

    組合せの用語では、この問題は12が5を選択するように表現されます。

  • and could be calculated with this formula,

    と、この式で計算することができました。

  • or you could just look at the sixth element of row twelve on the triangle

    三角形の12行目の6番目の要素を見てみましょう。

  • and get your answer.

    と答えを導き出します。

  • The patterns in Pascal's Triangle

    パスカルの三角形のパターン

  • are a testament to the elegantly interwoven fabric of mathematics.

    は、数学の優雅に織り成された布の証です。

  • And it's still revealing fresh secrets to this day.

    そして、それは今日に至るまで、今でも新鮮な秘密を明らかにしています。

  • For example, mathematicians recently discovered a way to expand it

    例えば、数学者は最近、それを拡張する方法を発見しました。

  • to these kinds of polynomials.

    をこの種の多項式に変換します。

  • What might we find next?

    次は何が見つかるかもしれませんか?

  • Well, that's up to you.

    まあ、それはあなた次第です。

This may look like a neatly arranged stack of numbers,

綺麗に数字が積み重なっているように見えるかもしれません。

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B1 中級 日本語 TED-Ed パスカル 数学 数字 対角 係数

TED-ED】パスカルの三角形の数学的秘密 - ワジディ・モハメド・ラテミ

  • 8951 1395
    SylviaQQ に公開 2015 年 09 月 27 日
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